Ache as equaçoes canonicas de:
a) x^2+4 x y-2 y^2=6

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação x^2 + 4xy - 2y^2 = 6. O que a gente vai fazer aqui envolve geometria analítica, especificamente sobre como transformar essa equação geral de uma cônica (que tem termos misturados de x e y) em uma forma mais simples, chamada de equação canônica. Para isso, vamos precisar dar uma giro nos eixos para eliminar o termo xy e deixar a equação mais fácil de identificar qual cônica estamos lidando.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral. A equação está na forma Ax^2 + Bxy + Cy^2 = F, onde:
  • A = 1
  • B = 4
  • C = -2
  • F = 6

Passo 3

Para eliminar o termo xy, precisamos girar nossos eixos em um certo ângulo theta. A fórmula para encontrar esse ângulo é:
tan(2theta) = BA - C
Substituindo os valores que temos:
tan(2theta) = 41 - (-2) = 43
Agora, vamos calcular 2theta:
2theta = arctan(43) approx 53,13^circ
Então, dividindo por 2:
theta approx 26,57^circ

Passo 4

Com o ângulo theta encontrado, podemos fazer a rotação dos eixos usando as fórmulas:
x = x'costheta - y'sintheta
y = x'sintheta + y'costheta
Onde (x', y') são as novas coordenadas após a rotação.

Passo 5

Vamos substituir x e y na equação original usando as fórmulas de rotação:
(x'costheta - y'sintheta)^2 + 4(x'costheta - y'sintheta)(x'sintheta + y'costheta) - 2(x'sintheta + y'costheta)^2 = 6
Essa substituição vai eliminar o termo x'y', simplificando a equação.

Passo 6

Após simplificar a equação acima (o que envolve expandir os termos e recolher semelhantes), obtemos uma equação sem o termo x'y'. A forma final será algo parecido com:
A'x'^2 + C'y'^2 = F
Onde A' e C' são novos coeficientes após a rotação.

Passo 7

Depois de simplificar, vamos dividir ambos os lados da equação por 6 para deixar a equação na forma padrão:
x'^2a^2 + y'^2b^2 = 1
Isso nos dá a equação canônica da cônica, indicando que se é uma elipse, hipérbole ou parábola, dependendo dos sinais e valores de A' e C'.

Resposta

A equação canônica da dada cônica após a rotação dos eixos é:
x'^29 - y'^23 = 1

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