Beleza, vamos resolver a equação . O que a gente vai fazer aqui envolve geometria analítica, especificamente sobre como transformar essa equação geral de uma cônica (que tem termos misturados de e ) em uma forma mais simples, chamada de equação canônica. Para isso, vamos precisar dar uma giro nos eixos para eliminar o termo e deixar a equação mais fácil de identificar qual cônica estamos lidando.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da nossa equação geral. A equação está na forma , onde:
Passo 3
Para eliminar o termo , precisamos girar nossos eixos em um certo ângulo . A fórmula para encontrar esse ângulo é:
Substituindo os valores que temos:
Agora, vamos calcular :
Então, dividindo por 2:
Passo 4
Com o ângulo encontrado, podemos fazer a rotação dos eixos usando as fórmulas:
Onde são as novas coordenadas após a rotação.
Passo 5
Vamos substituir e na equação original usando as fórmulas de rotação:
Essa substituição vai eliminar o termo , simplificando a equação.
Passo 6
Após simplificar a equação acima (o que envolve expandir os termos e recolher semelhantes), obtemos uma equação sem o termo . A forma final será algo parecido com:
Onde e são novos coeficientes após a rotação.
Passo 7
Depois de simplificar, vamos dividir ambos os lados da equação por 6 para deixar a equação na forma padrão:
Isso nos dá a equação canônica da cônica, indicando que se é uma elipse, hipérbole ou parábola, dependendo dos sinais e valores de e .
Resposta
A equação canônica da dada cônica após a rotação dos eixos é: