Ache a forma canõnica de Jordan das seguintes matrizes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a forma canônica de Jordan dessa matriz que você deu. A forma canônica de Jordan é uma maneira especial de escrever uma matriz que facilita entender suas propriedades, como seus valores próprios e vetores próprios. Para isso, vamos precisar calcular os valores próprios e os vetores próprios da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Os valores próprios são números que satisfazem a equação A = 2 & 1 & 0 1 & -1 & -1 0 & 1 & 2 , onde A - lambda I = 2-lambda & 1 & 0 1 & -1-lambda & -1 0 & 1 & 2-lambda é a matriz dada, det(A - lambda I) = (2-lambda)[(-1-lambda)(2-lambda) - (-1)(1)] - 1[1(2-lambda) - (-1)(0)] + 0 = 0 é um valor próprio, e (2-lambda)( -1 - lambda)(2 - lambda) + 1 - 1(2 - lambda) = 0 é a matriz identidade.
Agora, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número total de vetores próprios independentes for igual à dimensão da matriz. Aqui, encontramos dois vetores próprios diferentes, mas nossa matriz é 3x3, então precisamos de três vetores próprios para ser diagonalizável.
Como não encontramos um terceiro vetor próprio, a matriz não é diagonalizável. Então, vamos precisar usar blocos de Jordan para representar a forma canônica.
Passo 5
Como a matriz não é diagonalizável, sua forma canônica de Jordan terá pelo menos um bloco de Jordan. Vamos montar a forma canônica de Jordan usando os valores próprios e os vetores próprios que encontramos.
Para J2 = -1 & 1 0 & -1 , temos um bloco .
Para , como não há um terceiro vetor próprio, temos um bloco maior: