Ache a forma canõnica de Jordan das seguintes matrizes
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a forma canônica de Jordan dessa matriz que você deu. A forma canônica de Jordan é uma maneira especial de escrever uma matriz que facilita entender suas propriedades, como seus valores próprios e vetores próprios. Para isso, vamos precisar calcular os valores próprios e os vetores próprios da matriz.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Os valores próprios são números que satisfazem a equação , onde é a matriz dada, é um valor próprio, e é a matriz identidade.
Nossa matriz é:
Então, fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Continuando a simplificação, chegamos ao polinômio característico:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores próprios e .
Passo 3
Com os valores próprios em mãos, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada .
Para :
[
]
Resolvendo, encontramos que um vetor próprio é .
Para :
[
]
Resolvendo, encontramos que um vetor próprio é .
Passo 4
Agora, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número total de vetores próprios independentes for igual à dimensão da matriz. Aqui, encontramos dois vetores próprios diferentes, mas nossa matriz é 3x3, então precisamos de três vetores próprios para ser diagonalizável.
Como não encontramos um terceiro vetor próprio, a matriz não é diagonalizável. Então, vamos precisar usar blocos de Jordan para representar a forma canônica.
Passo 5
Como a matriz não é diagonalizável, sua forma canônica de Jordan terá pelo menos um bloco de Jordan. Vamos montar a forma canônica de Jordan usando os valores próprios e os vetores próprios que encontramos.
Para , temos um bloco .
Para , como não há um terceiro vetor próprio, temos um bloco maior: