Ache a forma canõnica de Jordan das seguintes matrizes
(ccc 2 & 1 & 0 1 & -1 & -1 0 & 1 & 2 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar a forma canônica de Jordan dessa matriz que você deu. A forma canônica de Jordan é uma maneira especial de escrever uma matriz que facilita entender suas propriedades, como seus valores próprios e vetores próprios. Para isso, vamos precisar calcular os valores próprios e os vetores próprios da matriz.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os valores próprios da matriz. Os valores próprios são números que satisfazem a equação A = 2 & 1 & 0 1 & -1 & -1 0 & 1 & 2 , onde A - lambda I = 2-lambda & 1 & 0 1 & -1-lambda & -1 0 & 1 & 2-lambda é a matriz dada, det(A - lambda I) = (2-lambda)[(-1-lambda)(2-lambda) - (-1)(1)] - 1[1(2-lambda) - (-1)(0)] + 0 = 0 é um valor próprio, e (2-lambda)( -1 - lambda)(2 - lambda) + 1 - 1(2 - lambda) = 0 é a matriz identidade.
Nossa matriz -lambda^3 + 3lambda^2 + lambda - 3 = 0 é:
Então, fica:
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Simplificando:
Continuando a simplificação, chegamos ao polinômio característico:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores próprios e .

Passo 3

Com os valores próprios em mãos, vamos encontrar os vetores próprios correspondentes a cada (A - 3I)v = 0 .

Para -1 & 1 & 0 1 & -4 & -1 0 & 1 & -1 v1 v2 v3 = 0 0 0 :
1 1 1
[
(A + I)v = 0
3 & 1 & 0 1 & 0 & -1 0 & 1 & 3 v1 v2 v3 = 0 0 0

-1 3 1
]
Resolvendo, encontramos que um vetor próprio é .

Para :

[


]
Resolvendo, encontramos que um vetor próprio é .

Passo 4

Agora, vamos verificar se a matriz é diagonalizável. Uma matriz é diagonalizável se o número total de vetores próprios independentes for igual à dimensão da matriz. Aqui, encontramos dois vetores próprios diferentes, mas nossa matriz é 3x3, então precisamos de três vetores próprios para ser diagonalizável.
Como não encontramos um terceiro vetor próprio, a matriz não é diagonalizável. Então, vamos precisar usar blocos de Jordan para representar a forma canônica.

Passo 5

Como a matriz não é diagonalizável, sua forma canônica de Jordan terá pelo menos um bloco de Jordan. Vamos montar a forma canônica de Jordan usando os valores próprios e os vetores próprios que encontramos.
Para J2 = -1 & 1 0 & -1 , temos um bloco .
Para , como não há um terceiro vetor próprio, temos um bloco maior:

Resposta

A forma canônica de Jordan da matriz dada é:
J = 3 & 0 & 0 0 & -1 & 1 0 & 0 & -1

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