As coordenadas cartesianas de um ponto são dadas.
(3 raiz3, 3)
Encontre as coordenadas polares r, theta do ponto, onde r<0 e 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Vamos resolver um problema de conversão de coordenadas cartesianas para coordenadas polares. O ponto dado tem coordenadas cartesianas . Para encontrar as coordenadas polares e , onde e , vamos precisar usar as fórmulas de conversão que relacionam essas duas formas de representação de pontos no plano.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas r = raizx^2 + y^2 para polares theta = arctan(yx) . As fórmulas são:
Essas fórmulas nos dão o valor de (a distância do ponto à origem) e (o ângulo que o raio forma com o eixo positivo ).

Passo 3

Vamos calcular o valor de r = raizx^2 + y^2 = raiz(3 raiz3)^2 + 3^2 = raiz27 + 9 = raiz36 = 6 usando a fórmula:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular o ângulo theta = arctan(yx) = arctan(33 raiz3) = arctan(1raiz3) = pi6 :
Então, .

Passo 5

No entanto, o problema pede que theta' = pi6 + pi = 7pi6 . Para ajustar isso, sabemos que um raio negativo significa que o ponto está na direção oposta ao ângulo dado. Portanto, podemos adicionar ao ângulo original para encontrar a representação correta com :
E, consequentemente, .

Resposta

As coordenadas polares do ponto são e .

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