Considere as seguintes bases de
:
Encontre
sabendo que
.
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor
na base
, sabendo que suas coordenadas na base
são
. Estamos trabalhando com mudanças de base em espaços vetoriais, especificamente em
. Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas de uma base para outra utilizando as bases fornecidas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. Isso quer dizer que o vetor
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base
. A base
é formada pelos vetores
e
. Então, temos:
Passo 3
Vamos realizar as operações para encontrar as coordenadas de
na base padrão:
Então, no sistema de coordenadas padrão,
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar o vetor
na base
. A base
é formada pelos vetores
e
. Queremos encontrar os escalares
e
tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações:
- Da primeira equação:
. - Substituindo na segunda equação:
- Substituindo
de volta na primeira equação:
Resposta
As coordenadas de
na base
são: