Considere as seguintes bases de :
Encontre sabendo que .

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor na base , sabendo que suas coordenadas na base são . Estamos trabalhando com mudanças de base em espaços vetoriais, especificamente em . Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas de uma base para outra utilizando as bases fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . A base é formada pelos vetores e . Então, temos:

Passo 3

Vamos realizar as operações para encontrar as coordenadas de na base padrão:
Então, no sistema de coordenadas padrão, .

Passo 4

Agora, precisamos expressar o vetor na base . A base é formada pelos vetores e . Queremos encontrar os escalares e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: .
  2. Substituindo na segunda equação:
  1. Substituindo de volta na primeira equação:

Resposta

As coordenadas de na base são:

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a)
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