Considere as seguintes bases de R^3 :
alpha=(10,3),(-1,-1) e beta=(1,3),(2,1)
Encontre [w]beta sabendo que [w]alpha=[l2 3].

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para encontrar as coordenadas de um vetor 2 3 na base , sabendo que suas coordenadas na base são . Estamos trabalhando com mudanças de base em espaços vetoriais, especificamente em . Para resolver isso, vamos precisar entender como converter as coordenadas de uma base para outra utilizando as bases fornecidas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 2 3 . Isso quer dizer que o vetor w = 2alpha1 + 3alpha2 = 2(10, 3) + 3(-1, -1) pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores da base . A base é formada pelos vetores e . Então, temos:

Passo 3

Vamos realizar as operações para encontrar as coordenadas de w = (2 times 10, 2 times 3) + (3 times -1, 3 times -1) = (20, 6) + (-3, -3) = (20 - 3, 6 - 3) = (17, 3) na base padrão:
Então, no sistema de coordenadas padrão, .

Passo 4

Agora, precisamos expressar o vetor w = xbeta1 + ybeta2 = x(1, 3) + y(2, 1) na base x + 2y = 17 3x + y = 3 . A base é formada pelos vetores e . Queremos encontrar os escalares e tais que:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da primeira equação: 3(17 - 2y) + y = 3 51 - 6y + y = 3 51 - 5y = 3 -5y = 3 - 51 -5y = -48 y = -48-5 = 485 .
  2. Substituindo na segunda equação:
x = 17 - 2(485) = 17 - 965 = 855 - 965 = -115
  1. Substituindo de volta na primeira equação:

Resposta

As coordenadas de [w]beta = -dfrac115 dfrac485 na base são:

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