Ache as equações canônicas de:
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos essa equação:
. Estamos trabalhando com equações de segundo grau, que geralmente representam círculos, elipses, hipérboles ou parábolas. Para encontrar as equações canônicas, ou seja, a forma mais simples dessa equação, vamos precisar eliminar o termo cruzado
que está atrapalhando. Para isso, vamos usar uma rotação de coordenadas.
Passo 2
Primeiro, identificamos que a presença do termo
indica que o gráfico está rotacionado em relação aos eixos padrão. Para simplificar, precisamos rotacionar o sistema de coordenadas de um ângulo
de forma que o termo
desapareça.
A fórmula para eliminar o termo
é escolher
tal que:
Aqui, nossa equação está na forma geral
. Comparando com a nossa equação:
Então:
Isso significa que
, portanto
.
Passo 3
Agora que sabemos que vamos rotacionar o sistema em
, usamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
Como
, e
, substituímos:
Passo 4
Vamos substituir
e
na equação original com essas expressões:
Vamos simplificar cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Terceiro termo:
- Quarto termo:
Agora, somando tudo:
Simplificando:
Passo 5
Vamos reorganizar a equação:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Agora, nosso objetivo é completar o quadrado para isolar
e
.
Passo 6
Isolando os termos com
:
Fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos
:
Distribuindo o 4:
Adicionamos
em ambos os lados:
Passo 7
Agora, dividimos ambos os lados por 4 para isolar o quadrado:
Podemos reorganizar para deixar a equação mais clara:
Passo 8
Finalmente, temos a equação na forma canônica após a rotação e o ajuste:
Para expressar de maneira mais padrão, podemos deixar:
Resposta
As equações canônicas da equação
são:
onde
e
são as novas coordenadas após a rotação de
.
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