Ache as equações canônicas de: x^2+y^2-2 x y+x=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa equação: . Estamos trabalhando com equações de segundo grau, que geralmente representam círculos, elipses, hipérboles ou parábolas. Para encontrar as equações canônicas, ou seja, a forma mais simples dessa equação, vamos precisar eliminar o termo cruzado que está atrapalhando. Para isso, vamos usar uma rotação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a presença do termo cot(2theta) = A - CB indica que o gráfico está rotacionado em relação aos eixos padrão. Para simplificar, precisamos rotacionar o sistema de coordenadas de um ângulo cot(2theta) = 1 - 1-2 = 0 de forma que o termo desapareça.
A fórmula para eliminar o termo é escolher tal que:
Aqui, nossa equação está na forma geral . Comparando com a nossa equação:
Então:
Isso significa que , portanto .

Passo 3

Agora que sabemos que vamos rotacionar o sistema em x = x'costheta - y'sintheta , usamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
y = x'sintheta + y'costheta
x = raiz22x' - raiz22y'
Como y = raiz22x' + raiz22y' , e , substituímos:

Passo 4

Vamos substituir (raiz22x' - raiz22y')^2 + (raiz22x' + raiz22y')^2 - 2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') + (raiz22x' - raiz22y') = 1 e (raiz22x' - raiz22y')^2 = 12x'^2 - raiz22x'y' + 12y'^2 na equação original com essas expressões:
(raiz22x' + raiz22y')^2 = 12x'^2 + raiz22x'y' + 12y'^2
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
-2(raiz22x' - raiz22y')(raiz22x' + raiz22y') = -2(12x'^2 - 12y'^2) = -x'^2 + y'^2
  1. Segundo termo:
raiz22x' - raiz22y'
  1. Terceiro termo:
(12x'^2 - raiz22x'y' + 12y'^2) + (12x'^2 + raiz22x'y' + 12y'^2) - x'^2 + y'^2 + raiz22x' - raiz22y' = 1
  1. Quarto termo:
(x'^2 + y'^2) - x'^2 + y'^2 + raiz22x' - raiz22y' =1
Agora, somando tudo:
2y'^2 + raiz22x' - raiz22y' =1
Simplificando:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação:
2y'^2 + raiz22x' - raiz22y' =1
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
4y'^2 + raiz2x' - raiz2y' =2
Agora, nosso objetivo é completar o quadrado para isolar e .

Passo 6

Isolando os termos com 4y'^2 - raiz2y' = 2 - raiz2x' :
4(y'^2 - raiz24y') = 2 - raiz2x'
Fatoramos o coeficiente de 4(y'^2 - raiz24y' + 132 - 132) = 2 - raiz2x' :
4((y' - raiz28)^2 - 132) = 2 - raiz2x'
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos 4(y' - raiz28)^2 - 18 = 2 - raiz2x' :
4(y' - raiz28)^2 = 2 - raiz2x' + 18
4(y' - raiz28)^2 = 178 - raiz2x'
Distribuindo o 4:
Adicionamos em ambos os lados:

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados por 4 para isolar o quadrado:
(y' - raiz28)^2 = 1732 - raiz24x'
Podemos reorganizar para deixar a equação mais clara:
(y' - raiz28)^2 + raiz24x' = 1732

Passo 8

Finalmente, temos a equação na forma canônica após a rotação e o ajuste:
(y' - raiz28)^2 + raiz24x' = 1732
Para expressar de maneira mais padrão, podemos deixar:
(y' - raiz28)^2 = -raiz24x' + 1732

Resposta

As equações canônicas da equação (y' - raiz28)^2 = -raiz24x' + 1732 são:
onde e são as novas coordenadas após a rotação de .

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