Ache as equações canônicas de:

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos essa equação: . Estamos trabalhando com equações de segundo grau, que geralmente representam círculos, elipses, hipérboles ou parábolas. Para encontrar as equações canônicas, ou seja, a forma mais simples dessa equação, vamos precisar eliminar o termo cruzado que está atrapalhando. Para isso, vamos usar uma rotação de coordenadas.

Passo 2

Primeiro, identificamos que a presença do termo indica que o gráfico está rotacionado em relação aos eixos padrão. Para simplificar, precisamos rotacionar o sistema de coordenadas de um ângulo de forma que o termo desapareça.
A fórmula para eliminar o termo é escolher tal que:
Aqui, nossa equação está na forma geral . Comparando com a nossa equação:
Então:
Isso significa que , portanto .

Passo 3

Agora que sabemos que vamos rotacionar o sistema em , usamos as fórmulas de rotação de coordenadas:
Como , e , substituímos:

Passo 4

Vamos substituir e na equação original com essas expressões:
Vamos simplificar cada termo:
  1. Primeiro termo:
  1. Segundo termo:
  1. Terceiro termo:
  1. Quarto termo:
Agora, somando tudo:
Simplificando:

Passo 5

Vamos reorganizar a equação:
Para facilitar, multiplicamos todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Agora, nosso objetivo é completar o quadrado para isolar e .

Passo 6

Isolando os termos com :
Fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos :
Distribuindo o 4:
Adicionamos em ambos os lados:

Passo 7

Agora, dividimos ambos os lados por 4 para isolar o quadrado:
Podemos reorganizar para deixar a equação mais clara:

Passo 8

Finalmente, temos a equação na forma canônica após a rotação e o ajuste:
Para expressar de maneira mais padrão, podemos deixar:

Resposta

As equações canônicas da equação são:
onde e são as novas coordenadas após a rotação de .

Exercícios relacionados

Considere A uma matriz n x n. Explique porquê uma matriz A não é inversível se e somente se é um autovalor de A.
Determinar as equações paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos pontos ) e . (para as equações reduzidas considere y a variável independente).
Uma matriz A é idempotente se . Mostre que se é um autovalor de uma matriz idempotente, então deve ser 0 ou 1 .
Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes: