Considere A uma matriz n x n. Explique porquê uma matriz A não é inversível se e somente se lambda=0 é um autovalor de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem . A pergunta quer que a gente explique por que não é inversível se e somente se 0 é um autovalor de . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como matriz inversível, autovalores e determinante.

Passo 2

Vamos começar definindo o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz A cdot A^-1 = A^-1 cdot A = I é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Se uma matriz não tem essa propriedade, ou seja, não existe uma matriz que a “desfaça”, então ela é chamada de não inversível ou singular.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovalores. Um número A cdot v = lambda v é chamado de autovalor de se existe um vetor não nulo tal que:
Isso significa que, ao aplicar a matriz no vetor , o resultado é o vetor escalado pelo fator .

Passo 4

Para conectar esses conceitos, vamos trazer o determinante da matriz det(A) = prodi=1^n lambdai . O determinante é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é inversível:
  • Se , então é inversível.
  • Se , então é não inversível.
Além disso, sabemos que os autovalores de estão relacionados ao determinante através da seguinte propriedade:
onde são os autovalores de .

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo. Se 0 é um dos autovalores de det(A) = lambda1 cdot lambda2 cdot ldots cdot 0 cdot ldots cdot lambdan = 0 , isto é, é um autovalor, então:
Isso significa que o determinante de é zero, o que implica que não é inversível.
Por outro lado, se não é inversível, então , o que, pela propriedade dos autovalores, significa que pelo menos um dos autovalores é zero.

Resposta

Portanto, uma matriz não é inversível se e somente se 0 é um autovalor de .

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