Considere A uma matriz n x n. Explique porquê uma matriz A não é inversível se e somente se
é um autovalor de A.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada
de ordem
. A pergunta quer que a gente explique por que
não é inversível se e somente se 0 é um autovalor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como matriz inversível, autovalores e determinante.
Passo 2
Vamos começar definindo o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz
é inversível se existe outra matriz
tal que:
onde
é a matriz identidade. Se uma matriz não tem essa propriedade, ou seja, não existe uma matriz que a “desfaça”, então ela é chamada de não inversível ou singular.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre autovalores. Um número
é chamado de autovalor de
se existe um vetor não nulo
tal que:
Isso significa que, ao aplicar a matriz
no vetor
, o resultado é o vetor
escalado pelo fator
.
Passo 4
Para conectar esses conceitos, vamos trazer o determinante da matriz
. O determinante é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é inversível:
- Se
, então é inversível. - Se
, então é não inversível.
Além disso, sabemos que os autovalores de
estão relacionados ao determinante através da seguinte propriedade:
onde
são os autovalores de
.
Passo 5
Agora, vamos juntar tudo. Se 0 é um dos autovalores de
, isto é,
é um autovalor, então:
Isso significa que o determinante de
é zero, o que implica que
não é inversível.
Por outro lado, se
não é inversível, então
, o que, pela propriedade dos autovalores, significa que pelo menos um dos autovalores é zero.
Resposta
Portanto, uma matriz
não é inversível se e somente se 0 é um autovalor de
.