Considere A uma matriz n x n. Explique porquê uma matriz A não é inversível se e somente se é um autovalor de A.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz quadrada de ordem . A pergunta quer que a gente explique por que não é inversível se e somente se 0 é um autovalor de . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como matriz inversível, autovalores e determinante.

Passo 2

Vamos começar definindo o que significa uma matriz ser inversível. Uma matriz é inversível se existe outra matriz tal que:
onde é a matriz identidade. Se uma matriz não tem essa propriedade, ou seja, não existe uma matriz que a “desfaça”, então ela é chamada de não inversível ou singular.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre autovalores. Um número é chamado de autovalor de se existe um vetor não nulo tal que:
Isso significa que, ao aplicar a matriz no vetor , o resultado é o vetor escalado pelo fator .

Passo 4

Para conectar esses conceitos, vamos trazer o determinante da matriz . O determinante é um número que, entre outras coisas, nos diz se a matriz é inversível:
  • Se , então é inversível.
  • Se , então é não inversível.
Além disso, sabemos que os autovalores de estão relacionados ao determinante através da seguinte propriedade:
onde são os autovalores de .

Passo 5

Agora, vamos juntar tudo. Se 0 é um dos autovalores de , isto é, é um autovalor, então:
Isso significa que o determinante de é zero, o que implica que não é inversível.
Por outro lado, se não é inversível, então , o que, pela propriedade dos autovalores, significa que pelo menos um dos autovalores é zero.

Resposta

Portanto, uma matriz não é inversível se e somente se 0 é um autovalor de .

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Determinar as equações paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos pontos ) e . (para as equações reduzidas considere y a variável independente).
I. Determine:
1a) .
1b) .
II. Verifique que:
2a) é subespaço de .
2b) não é subespaço de .
Ache as equações canônicas de:
Uma matriz A é idempotente se . Mostre que se é um autovalor de uma matriz idempotente, então deve ser 0 ou 1 .