Uma matriz A n x n é idempotente se A^2=A. Mostre que se lambda é um autovalor de uma matriz idempotente, então lambda deve ser 0 ou 1 .

Passo 1

Então, temos uma matriz quadrada de tamanho que é idempotente, ou seja, . O objetivo é mostrar que se é um autovalor dessa matriz, então só pode ser 0 ou 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e matrizes idempotentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se é um autovalor de , então existe um vetor não nulo tal que . Isso significa que quando aplicamos a matriz no vetor , o resultado é o próprio vetor escalado por .

Passo 3

Agora, sabemos que A^2 v = A (A v) = A (lambda v) = lambda (A v) = lambda (lambda v) = lambda^2 v é idempotente, ou seja, A^2 v = A v = lambda v . Vamos aplicar lambda^2 v = lambda v duas vezes no vetor :
Por outro lado, como , também temos:
Então, unindo as duas expressões:

Passo 4

Como lambda^2 = lambda é um vetor não nulo, podemos cancelar lambda^2 - lambda = 0 lambda (lambda - 1) = 0 das duas partes da equação, ficando:
lambda = 0 ou lambda = 1
Agora, vamos resolver essa equação para :
Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Resposta

Portanto, se é um autovalor de uma matriz idempotente , então deve ser 0 ou 1.

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