Uma matriz A é idempotente se . Mostre que se é um autovalor de uma matriz idempotente, então deve ser 0 ou 1 .

Passo 1

Então, temos uma matriz quadrada de tamanho que é idempotente, ou seja, . O objetivo é mostrar que se é um autovalor dessa matriz, então só pode ser 0 ou 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e matrizes idempotentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se é um autovalor de , então existe um vetor não nulo tal que . Isso significa que quando aplicamos a matriz no vetor , o resultado é o próprio vetor escalado por .

Passo 3

Agora, sabemos que é idempotente, ou seja, . Vamos aplicar duas vezes no vetor :
Por outro lado, como , também temos:
Então, unindo as duas expressões:

Passo 4

Como é um vetor não nulo, podemos cancelar das duas partes da equação, ficando:
Agora, vamos resolver essa equação para :
Isso nos dá duas soluções possíveis para :

Resposta

Portanto, se é um autovalor de uma matriz idempotente , então deve ser 0 ou 1.

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