Uma matriz A
é idempotente se
. Mostre que se
é um autovalor de uma matriz idempotente, então
deve ser 0 ou 1 .
Passo 1
Então, temos uma matriz quadrada
de tamanho
que é idempotente, ou seja,
. O objetivo é mostrar que se
é um autovalor dessa matriz, então
só pode ser 0 ou 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre autovalores e matrizes idempotentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um autovalor. Se
é um autovalor de
, então existe um vetor não nulo
tal que
. Isso significa que quando aplicamos a matriz
no vetor
, o resultado é o próprio vetor
escalado por
.
Passo 3
Agora, sabemos que
é idempotente, ou seja,
. Vamos aplicar
duas vezes no vetor
:
Por outro lado, como
, também temos:
Então, unindo as duas expressões:
Passo 4
Como
é um vetor não nulo, podemos cancelar
das duas partes da equação, ficando:
Agora, vamos resolver essa equação para
:
Isso nos dá duas soluções possíveis para
:
Resposta
Portanto, se
é um autovalor de uma matriz idempotente
, então
deve ser 0 ou 1.