Determinar as equações paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos pontos A(-1,2,3 ) e B(1,3,2). (para as equações reduzidas considere y a variável independente).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa determinar as equações paramétricas, simétricas e reduzidas da reta que passa pelos pontos e . Isso está ligado ao estudo de geometria analítica no espaço tridimensional. Para isso, vamos precisar saber como encontrar o vetor diretor da reta e usar as fórmulas apropriadas para cada tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta. O vetor diretor é basicamente uma “seta” que indica a direção da reta, e podemos encontrá-lo subtraindo as coordenadas dos pontos v = B - A = (1 - (-1), 3 - 2, 2 - 3) = (2, 1, -1) e .
Então, o vetor diretor é .

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor, vamos montar as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas expressam cada coordenada x = -1 + 2t y = 2 + t z = 3 - t , e em função de um parâmetro .
Usando o ponto como ponto de referência, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos formar as equações simétricas da reta. As equações simétricas relacionam as diferenças das coordenadas com o vetor diretor.
x - (-1)2 = y - 21 = z - 3-1
Simplificando:
x + 12 = y - 2 = z - 3-1

Passo 5

Por fim, vamos determinar as equações reduzidas da reta, considerando t = y - 2 como a variável independente. As equações reduzidas vinculam x = -1 + 2(y - 2) = 2y - 5 e z = 3 - (y - 2) = 5 - y diretamente a .
A partir das equações paramétricas, sabemos que:
Substituindo nas equações de e :

Resposta

As equações da reta são:
Paramétricas:
x = -1 + 2t y = 2 + t z = 3 - t
Simétricas:
x + 12 = y - 2 = z - 3-1
Reduzidas (com x = 2y - 5 como variável independente):
z = 5 - y

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