Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores encontrando os valores que satisfazem o polinômio característico da matriz e, depois, encontrar os vetores que correspondem a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dada:
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita nosso trabalho porque, para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal.

Passo 3

Então, olhando para a diagonal principal de :
Isso nos dá os autovalores diretamente:
Perceba que o autovalor 1 aparece duas vezes, o que indica que ele tem multiplicidade 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor , queremos encontrar os vetores não nulos que satisfazem:
Onde é a matriz identidade e é o vetor zero.

Passo 5

Vamos começar com :
A equação fica:
Isso simplifica para:
Aqui, é livre, então podemos expressar em termos de e :
Portanto, o autoespaço para é gerado pelos vetores:

Passo 6

Agora, vamos para :
A equação fica:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Aqui, é livre, então:
Portanto, o autoespaço para é gerado pelo vetor:

Resposta

Os autovalores da matriz são (de multiplicidade 2) e .
Os autoespaços correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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