Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores encontrando os valores que satisfazem o polinômio característico da matriz e, depois, encontrar os vetores que correspondem a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dada:
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita nosso trabalho porque, para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal.
Passo 3
Então, olhando para a diagonal principal de :
Isso nos dá os autovalores diretamente:
Perceba que o autovalor 1 aparece duas vezes, o que indica que ele tem multiplicidade 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor , queremos encontrar os vetores não nulos que satisfazem:
Onde é a matriz identidade e é o vetor zero.
Passo 5
Vamos começar com :
A equação fica:
Isso simplifica para:
Aqui, é livre, então podemos expressar em termos de e :
Portanto, o autoespaço para é gerado pelos vetores:
Passo 6
Agora, vamos para :
A equação fica:
Da segunda equação, temos:
Substituindo na primeira equação:
Aqui, é livre, então:
Portanto, o autoespaço para é gerado pelo vetor:
Resposta
Os autovalores da matriz são (de multiplicidade 2) e .