Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores encontrando os valores que satisfazem o polinômio característico da matriz e, depois, encontrar os vetores que correspondem a cada autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a matriz dada:
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita nosso trabalho porque, para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal.
Passo 3
Então, olhando para a diagonal principal de Diagonal principal: 1, 2, 1 :
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 1
Isso nos dá os autovalores diretamente:
Perceba que o autovalor 1 aparece duas vezes, o que indica que ele tem multiplicidade 2.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor (A - lambda I)v = 0 , queremos encontrar os vetores não nulos que satisfazem: