Encontre os autovalores e os autoespaços correspondentes para cada uma das seguintes matrizes:
[lll1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar os autovalores e os autoespaços de uma matriz específica. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, mais especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar calcular os autovalores encontrando os valores que satisfazem o polinômio característico da matriz e, depois, encontrar os vetores que correspondem a cada autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dada:
A = 1 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 0 & 1
Essa é uma matriz triangular superior, o que facilita nosso trabalho porque, para matrizes triangulares, os autovalores são simplesmente os elementos da diagonal principal.

Passo 3

Então, olhando para a diagonal principal de Diagonal principal: 1, 2, 1 :
lambda1 = 1, lambda2 = 2, lambda3 = 1
Isso nos dá os autovalores diretamente:
Perceba que o autovalor 1 aparece duas vezes, o que indica que ele tem multiplicidade 2.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os autoespaços correspondentes a cada autovalor. Para cada autovalor (A - lambda I)v = 0 , queremos encontrar os vetores não nulos que satisfazem:
Onde é a matriz identidade e é o vetor zero.

Passo 5

Vamos começar com A - 1I = 0 & 1 & 1 0 & 1 & 1 0 & 0 & 0 :
0x + 1y + 1z = 0 0x + 1y + 1z = 0 0x + 0y + 0z = 0
A equação y + z = 0 Rightarrow z = -y fica:
v = x y -z = x y -y = x 1 0 0 + y 0 1 -1
Isso simplifica para:
1 0 0 e 0 1 -1
Aqui, é livre, então podemos expressar em termos de e :
Portanto, o autoespaço para é gerado pelos vetores:

Passo 6

Agora, vamos para A - 2I = -1 & 1 & 1 0 & 0 & 1 0 & 0 & -1 :
-1x + 1y + 1z = 0 0x + 0y + 1z = 0 0x + 0y -1z = 0
A equação z = 0 fica:
-1x + y = 0 Rightarrow y = x
Da segunda equação, temos:
v = x x 0 = x 1 1 0
Substituindo na primeira equação:
1 1 0
Aqui, é livre, então:
Portanto, o autoespaço para é gerado pelo vetor:

Resposta

Os autovalores da matriz são Span 1 0 0 , 0 1 -1 (de multiplicidade 2) e Span 1 1 0 .
Os autoespaços correspondentes são:
  • Para :
  • Para :

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