Ache equações na forma simétrica da reta perpendicular às retas
e que passa pela interseção de r e s.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas retas, r: x = 1 + lambda y = lambda z = 0 s: x = 0 y = mu z = 1 + mu e , definidas pelas seguintes equações:
A tarefa é encontrar as equações na forma simétrica de uma nova reta que seja perpendicular às retas e e que passe pelo ponto de interseção entre e . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre retas no espaço, interseção de retas e perpendicularidade entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto de interseção entre as retas 1 + lambda = 0 lambda = mu 0 = 1 + mu e . Para que duas retas se intersectem, deve existir um ponto que satisfaz as equações de ambas as retas ao mesmo tempo. Ou seja, precisamos encontrar valores de e que tornem as coordenadas iguais para e .
Vamos igualar as coordenadas:
Passo 3
Resolvendo o sistema de equações:
Da primeira equação: x = 1 + (-1) = 0 y = -1 z = 0 .
Da terceira equação: .
Verificamos que satisfaz a segunda equação: .
Portanto, as retas e se intersectam no ponto correspondente a ou . Vamos encontrar as coordenadas desse ponto substituindo na equação de :
Então, o ponto de interseção é .
Passo 4
Agora, queremos encontrar uma reta que seja perpendicular às retas e e que passe pelo ponto . Para que duas retas sejam perpendiculares, o vetor diretor de uma deve ser perpendicular ao vetor diretor da outra. No espaço tridimensional, se uma reta é perpendicular a duas outras retas, seu vetor diretor deve ser perpendicular a ambos os vetores diretores das retas dadas.
Primeiro, identificamos os vetores diretores das retas e :
Para , o vetor diretor é (coeficientes de ).
Para , o vetor diretor é (coeficientes de ).
Passo 5
Para encontrar um vetor que é perpendicular a ambos u times v = i & j & k 1 & 1 & 0 0 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 0 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 0) e = i(1) - j(1) + k(1) = (1, -1, 1) , usamos o produto vetorial. O produto vetorial de e nos dá um vetor perpendicular a ambos.
Vamos calcular o produto vetorial :
Então, o vetor diretor da reta que buscamos é .
Passo 6
Agora que temos o vetor diretor l: x = 0 + t cdot 1 = t y = -1 + t cdot (-1) = -1 - t z = 0 + t cdot 1 = t e sabemos que a reta passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta :
Aqui, é o parâmetro.
Passo 7
Por fim, vamos converter as equações paramétricas da reta x - x0a = y - y0b = z - z0c para a forma simétrica. A forma simétrica é obtida isolando o parâmetro x - 01 = y + 1-1 = z - 01 em cada equação:
x1 = y + 1-1 = z1
Onde é um ponto da reta e são as componentes do vetor diretor. Substituindo os valores:
Podemos simplificar:
Resposta
A reta perpendicular às retas x1 = y + 1-1 = z1 e que passa pela interseção de e tem equações na forma simétrica: