Determine a solução para a equação: .

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial: . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais ordinárias, que nos ajudam a entender como uma função muda em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar isolado. A gente tem:
Isso facilita para a próxima etapa, onde vamos separar as variáveis e .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis e . A ideia é ter tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro lado:
Aqui, a gente dividiu ambos os lados por para isolar de um lado e do outro.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados agora. Para a parte da esquerda, precisamos quebrar a fração em partes mais simples:
Isso facilita a integração, pois agora temos termos que são mais fáceis de integrar separadamente.

Passo 5

Integrando cada parte:
Aqui, é a constante de integração que aparece quando a gente integra.

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para resolver para :
Podemos reescrever como , onde , para simplificar a expressão.

Passo 7

Isolando , temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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(a)
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e que passa pela interseção de r e s.