Determine a solução para a equação:
.
Passo 1
Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial:
. Isso faz parte do estudo das equações diferenciais ordinárias, que nos ajudam a entender como uma função
muda em relação a
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar
isolado. A gente tem:
Isso facilita para a próxima etapa, onde vamos separar as variáveis
e
.
Passo 3
Agora, vamos separar as variáveis
e
. A ideia é ter tudo que envolve
de um lado e tudo que envolve
do outro lado:
Aqui, a gente dividiu ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro.
Passo 4
Vamos integrar os dois lados agora. Para a parte da esquerda, precisamos quebrar a fração em partes mais simples:
Isso facilita a integração, pois agora temos termos que são mais fáceis de integrar separadamente.
Passo 5
Integrando cada parte:
Aqui,
é a constante de integração que aparece quando a gente integra.
Passo 6
Vamos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para resolver para
:
Podemos reescrever
como
, onde
, para simplificar a expressão.
Passo 7
Isolando
, temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.
Resposta
A solução da equação
é:
onde
é uma constante arbitrária.
Exercícios relacionados
Sejam
vetores de
. Mostre que o conjunto
é
se, e somente se,
.
Obtenha uma equação vetorial da reta t , paralela aos planos
e
, e concorrente com as retas re s, sendo
Reduza as matrizes à forma escalonada reduzida:
(a)
(a)
Ache equações na forma simétrica da reta perpendicular às retas
e que passa pela interseção de r e s.