Determine a solução para a equação: y^prime-y=-3 y^2.

Passo 1

Então, o que a gente tem aqui é uma equação diferencial: . Isso faz parte do estudo das equações diferenciais ordinárias, que nos ajudam a entender como uma função muda em relação a . Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixar y^prime = y - 3 y^2 isolado. A gente tem:
Isso facilita para a próxima etapa, onde vamos separar as variáveis e .

Passo 3

Agora, vamos separar as variáveis dydx = y - 3 y^2 e dyy(1 - 3 y) = dx . A ideia é ter tudo que envolve de um lado e tudo que envolve do outro lado:
Aqui, a gente dividiu ambos os lados por para isolar de um lado e do outro.

Passo 4

Vamos integrar os dois lados agora. Para a parte da esquerda, precisamos quebrar a fração em partes mais simples:
integral ( 1y + 31 - 3 y ) dy = integral dx
Isso facilita a integração, pois agora temos termos que são mais fáceis de integrar separadamente.

Passo 5

Integrando cada parte:
ln|y| - ln|1 - 3 y| = x + C
Aqui, é a constante de integração que aparece quando a gente integra.

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão exponenciando ambos os lados para resolver para y1 - 3 y = e^x + C :
Podemos reescrever como , onde , para simplificar a expressão.

Passo 7

Isolando y = K e^x1 + 3 K e^x , temos:
Essa é a solução geral da equação diferencial dada.

Resposta

A solução da equação y(x) = K e^x1 + 3 K e^x é:
onde é uma constante arbitrária.

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