Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados respectivamente por e
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica que envolve parábolas. O enunciado nos pede para encontrar as equações das parábolas que têm como foco o ponto e como diretriz a reta . Para isso, vamos usar a definição de parábola: é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos representar qualquer ponto que pertence à parábola. De acordo com a definição, a distância desse ponto ao foco deve ser igual à distância desse ponto à diretriz .
Passo 3
Vamos calcular essas duas distâncias:
Distância ao foco: Utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos:
Distância à diretriz: A diretriz é a reta . A distância de um ponto a essa reta é simplesmente o valor absoluto de :
Passo 4
Igualamos as duas distâncias conforme a definição da parábola:
Como estamos trabalhando com distâncias, podemos eliminar o valor absoluto e os radicais ao quadrar ambos os lados da equação:
Passo 5
Agora, vamos expandir os termos e simplificar a equação:
Subtraindo de ambos os lados:
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola: