Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados respectivamente por (2,3) e x=0

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica que envolve parábolas. O enunciado nos pede para encontrar as equações das parábolas que têm como foco o ponto e como diretriz a reta . Para isso, vamos usar a definição de parábola: é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos representar qualquer ponto que pertence à parábola. De acordo com a definição, a distância desse ponto ao foco deve ser igual à distância desse ponto à diretriz .

Passo 3

Vamos calcular essas duas distâncias:
  1. Distância ao foco: Utilizamos a fórmula da distância entre dois pontos:
    raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2
  2. Distância à diretriz: A diretriz é a reta |x| . A distância de um ponto a essa reta é simplesmente o valor absoluto de :

Passo 4

Igualamos as duas distâncias conforme a definição da parábola:
raiz(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = |x|
Como estamos trabalhando com distâncias, podemos eliminar o valor absoluto e os radicais ao quadrar ambos os lados da equação:
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = x^2

Passo 5

Agora, vamos expandir os termos e simplificar a equação:
(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = x^2
x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2
Subtraindo -4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = 0 de ambos os lados:
y^2 - 6y - 4x + 13 = 0

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para a forma padrão da parábola:
y^2 - 6y = 4x - 13
Completando o quadrado para y^2 - 6y + 9 = 4x - 13 + 9 :
(y - 3)^2 = 4x - 4
(y - 3)^2 = 4(x - 1)

Resposta

A equação da parábola é:
(y - 3)^2 = 4(x - 1)

Exercícios relacionados

Resolva as equações:
|ccx+3 & 5 1 & x-1|=0
Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(f) C: y^2-4 y+8 x-4=0.
Determine, a menos da concavidade, a equação da parábola cuja corda principal é o segmento R S com:
(b) R(10,0) e S(-20,-10).
Na matriz (rrc1 & x & x^2 1 & 2 & 4 1 & -3 & 9), calcule:
seu determinante