Determine, a menos da concavidade, a equação da parábola cuja corda principal é o segmento com:
(b) R(10,0) e S(-20,-10).
Passo 1
Beleza, vamos por partes! A questão pede para a gente encontrar a equação de uma parábola sabendo que uma de suas cordas principais é o segmento RS, onde R(10,0) e S(-20,-10). Vamos usar conceitos de geometria analítica para resolver isso. Precisamos entender o que é uma parábola, como identificar suas características e usar os pontos dados para encontrar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma parábola. Uma parábola é o conjunto de pontos que equidistam de um ponto fixo chamado foco e de uma reta fixa chamada diretriz. A “corda principal” geralmente se refere a um segmento que passa pelo foco e é paralelo à diretriz.
Passo 3
Sabendo que RS é a corda principal, os pontos R(10,0) e S(-20,-10) estão na parábola e esta corda passa pelo foco. Vamos calcular o ponto médio de RS, que será o vértice da parábola.
Passo 4
Para achar o ponto médio, usamos a fórmula:
M(xR + xS2, yR + yS2)
Substituindo:
M(10 + (-20)2, 0 + (-10)2) = M(-5, -5)
Então, o vértice é V(-5,-5).
Passo 5
Agora, precisamos encontrar a inclinação da corda principal RS para determinar a orientação da parábola. Calculamos a inclinação (coeficiente angular) usando:
A equação da parábola com vértice em V(h,k) e inclinação m pode ser escrita de forma geral como:
(y - k) = a(x - h)^2
Mas como a parábola está inclinada, precisamos ajustar a equação para considerar a inclinação da corda principal.
Passo 7
Vamos rotacionar o sistema de coordenadas para que a corda principal fique alinhada com o eixo x. A inclinação 13 corresponde a um ângulo theta onde tan(theta) = 13. Usamos transformação de coordenadas para simplificar.
Passo 8
Após a rotação, a equação da parábola fica na forma padrão, e depois retornamos ao sistema original. Isso envolve um pouco de cálculo com trigonometria, mas essencialmente nos permite encontrar a equação na posição correta.
Passo 9
Finalmente, aplicando as transformações e resolvendo para os coeficientes, encontramos a equação da parábola que passa pelos pontos R(10,0) e S(-20,-10) com vértice em V(-5,-5) e inclinação 13.