Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(f) C: y^2-4 y+8 x-4=0.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos uma equação de uma cônica:
y^2 - 4y + 8x - 4 = 0
Nosso objetivo é classificar essa cônica, encontrar as coordenadas do centro ou vértice e ver como ela se posiciona em relação aos eixos coordenados. Para isso, vamos precisar completar o quadrado na variável que tem o termo ao quadrado, que nesse caso é o .

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para agrupar os termos de y^2 - 4y = -8x + 4:
Aqui, movemos o termo e o constante para o outro lado da equação.

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de y^2 - 4y = (y - 2)^2 - 4. Para completar o quadrado de , usamos a fórmula:
Isso porque . Então, subtraímos 4 para manter a igualdade.

Passo 4

Substituindo de volta na equação original, temos:
(y - 2)^2 - 4 = -8x + 4
Agora, vamos isolar (y - 2)^2 = -8x + 8:

Passo 5

Dividindo todos os termos por -8 para facilitar a identificação da cônica:
(y - 2)^2 = -8(x - 1)
Agora, a equação está na forma padrão de uma parábola:
(y - k)^2 = 4p(x - h)

Passo 6

Comparando com a forma padrão, identificamos:
  • então
Isso nos diz que a parábola tem vértice no ponto e que ela abre para a esquerda (porque é negativo).

Passo 7

Finalmente, vamos classificar a cônica:
  • Tipo de cônica: Parábola
  • Vértice:
  • Abertura: Para a esquerda
  • Posição em relação aos eixos coordenados: O vértice está deslocado para e , ou seja, não está centrado na origem.

Resposta

A cônica é uma parábola com vértice em , que abre para a esquerda, posicionando-se deslocada em relação aos eixos coordenados.

Exercícios relacionados

Resolva as equações:
|llx & x 5 & x|=0
Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(a) C: x^2+4 y^2-2 x+8 y+1=0.
Resolva as equações:
|ccx+3 & 5 1 & x-1|=0
Ache as equações das parábolas de focos e diretrizes dados respectivamente por (2,3) e x=0