Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente tem as equações paramétricas da curva dadas por:
O objetivo aqui é encontrar novas equações paramétricas onde o parâmetro seja o comprimento de arco, denotado por s, medido a partir do ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar fórmulas de comprimento de arco e relacionar o parâmetro
com
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco s em termos de
pode ser encontrado usando a fórmula:
Então, precisamos calcular as derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:
Passo 4
Sabemos que , então simplificando:
Isso nos diz que o comprimento de arco s é proporcional ao parâmetro
, com a constante de proporcionalidade sendo
.
Passo 5
Agora, precisamos expressar
em função de
:
Então, substituímos
por
nas equações originais para obter as equações paramétricas em termos de
:
Passo 6
Substituindo:
Essas são as equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco
.
Resposta
As equações paramétricas em função do comprimento de arco
são:
Exercícios relacionados
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
Ache
e
.
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores
e os escalares
e
.
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.