Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t=0.
ll a) x=a cos t, y=a sen t & b) x=2+cos t, y=3+sen t c) x=2(cos t+t sen t), y=2(sen t-t cos t) & d) y=raizx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A gente tem as equações paramétricas da curva dadas por:
O objetivo aqui é encontrar novas equações paramétricas onde o parâmetro seja o comprimento de arco, denotado por s, medido a partir do ponto onde x = a cos t, y = a sen t . Para isso, vamos precisar usar fórmulas de comprimento de arco e relacionar o parâmetro com .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o comprimento de arco s em termos de s = integral0^t raiz( dxdt )^2 + ( dydt )^2 , dt pode ser encontrado usando a fórmula:
Então, precisamos calcular as derivadas de e em relação a .

Passo 3

Calculando as derivadas:
Agora, substituímos na fórmula do comprimento de arco:

Passo 4

Sabemos que , então simplificando:
s = integral0^t raiza^2 cdot 1 , dt s = integral0^t a , dt s = a t
Isso nos diz que o comprimento de arco s é proporcional ao parâmetro , com a constante de proporcionalidade sendo .

Passo 5

Agora, precisamos expressar s = a t t = sa em função de :
Então, substituímos por nas equações originais para obter as equações paramétricas em termos de :

Passo 6

Substituindo:
Essas são as equações paramétricas da curva em termos do comprimento de arco x = a cos( sa ) y = a sen( sa ) .

Resposta

As equações paramétricas em função do comprimento de arco x = a cos( sa ), y = a sen( sa ) são:

Exercícios relacionados

Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
ll a) R(t)=(t+1) i-t^2 j+(1-2 t) k & b) R(t)=sen 2 t i+cos 2 t j+2 raizt^3 k c) R(t)=e^t cos t i+e^t sen t j+e^t k & d) R(t)=2 t cos t i+5 t j+2 t sen t k
Ache R^prime(t), R^prime prime(t) e |R^prime(t)|.
ll a) R(t)=(t^2-3) i+(2 t+1) j & b) R(t)=e^2 t i+ln t j c) R(t)=cos 2 t i+t g t j & d) R(t)=raiz2 t+1 i+(t-1)^2 j e) R(t)=(t-1)t+1 i+(t-2)t j & f) R(t)=(e^t+1) i+(e^t-1) j
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo a equação vetorial dada. Ache os vetores V(t), A(t) e os escalares A_T(t) e AN(t).
a) R(t) = t * i + t^2 * j
b) R(t) = 2 sen(4t) i + 2 cos(4t) j
c) R(t) = (cos(t) + t sen(t)) i + (sen(t) - t cos(t)) j, t ≥ 0
d) R(t) = (t^3 - 3t) i + 3t^2 j
Encontre uma equação em coordenadas esféricas da superfície dada.
ll a) x^2+y^2+z^2-9 z=0 & b) x^2+y^2=9 c) x^2+y^2=2 z & d) x^2+y^2+z^2-8 x=0