Ache R^prime(t), R^prime prime(t) e |R^prime(t)|.
ll a) R(t)=(t^2-3) i+(2 t+1) j & b) R(t)=e^2 t i+ln t j c) R(t)=cos 2 t i+t g t j & d) R(t)=raiz2 t+1 i+(t-1)^2 j e) R(t)=(t-1)t+1 i+(t-2)t j & f) R(t)=(e^t+1) i+(e^t-1) j

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte a) do exercício. A questão pede para a gente encontrar a primeira derivada , a segunda derivada e a norma da primeira derivada da função vetorial . Isso tudo está relacionado ao cálculo de derivadas de funções vetoriais e à noção de magnitude de vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar R'(t) = ddt [(t^2 - 3) i + (2t + 1) j] = (2t) i + (2) j , que é a derivada de em relação a . Derivando cada componente:
Então, .

Passo 3

Agora, vamos achar R''(t) = ddt [2t i + 2 j] = 2 i + 0 j = 2 i , que é a derivada de :
Portanto, .

Passo 4

Por último, vamos calcular a norma de |R'(t)| = raiz(2t)^2 + (2)^2 = raiz4t^2 + 4 = raiz4(t^2 + 1) = 2raizt^2 + 1 , que representa o tamanho ou módulo do vetor . A fórmula da norma é:
Então, .

Resposta

Para a parte a) do exercício:
R'(t) = 2t i + 2 j
R''(t) = 2 i
|R'(t)| = 2raizt^2 + 1

Exercícios relacionados

Encontre uma equação em coordenadas cartesianas da superfície cuja equação é dada em coordenadas esféricas.
ll a) rho=9 sec phi & b) rho=6 cos e c phi c) rho=6 sen phi sen theta+3 cos phi & d) rho=2 t g theta
Uma partícula está se movendo ao longo da curva, tendo as equações paramétricas dadas. Ache o vetor velocidade, o vetor aceleração, a velocidade escalar no ponto dado, o módulo do vetor aceleração no ponto dado.
a) x=t^2+4, y=t-2, t=3 & b) x=ln (t-2), y=t^3-1, t=3 c) x=5 cos 2 t, y=3 sen 2 t, t=pi4 & d) x=e^2 t, y=e^3 t, t=0
Ache o vetor tangente unitário para a curva tendo a equação vetorial dada.
ll a) R(t)=(t+1) i-t^2 j+(1-2 t) k & b) R(t)=sen 2 t i+cos 2 t j+2 raizt^3 k c) R(t)=e^t cos t i+e^t sen t j+e^t k & d) R(t)=2 t cos t i+5 t j+2 t sen t k
Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento de arco s como parâmetro, onde s é medido a partir do ponto onde t=0.
ll a) x=a cos t, y=a sen t & b) x=2+cos t, y=3+sen t c) x=2(cos t+t sen t), y=2(sen t-t cos t) & d) y=raizx^3