Ache as equações paramétricas da curva tendo o comprimento do como parâmetro, onde é medido a partir do ponto onde .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da curva usando o comprimento do arco como parâmetro. Pra isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente como relacionar o comprimento de um arco com as coordenadas da curva. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica expressa as coordenadas e em função de um terceiro parâmetro, que no nosso caso é o comprimento do arco . Isso significa que queremos e que descrevem cada ponto da curva conforme varia.

Passo 3

Para achar essas funções paramétricas, precisamos relacionar com . O comprimento do arco desde um ponto inicial até um ponto na curva é dado pela integral:
Aqui, é a derivada da função em relação a .

Passo 4

Vamos calcular a derivada da nossa função :

Passo 5

Agora, substituímos essa derivada na expressão do comprimento do arco:

Passo 6

Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer:
Quando , , e quando , .

Passo 7

Substituindo na integral:
Integrando :

Passo 8

Agora, temos uma relação entre e :
Vamos simplificar para isolar em função de :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Agora, elevamos ambos os lados à potência para resolver para :
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando por :

Passo 10

Agora que temos , podemos encontrar usando a equação original da curva :

Resposta

As equações paramétricas da curva em função do comprimento do arco são:

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