Ache as equações paramétricas da curva
tendo o comprimento do
como parâmetro, onde
é medido a partir do ponto onde
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da curva
usando o comprimento do arco
como parâmetro. Pra isso, vamos precisar entender um pouco de cálculo, especificamente como relacionar o comprimento de um arco com as coordenadas da curva. Vamos seguir passo a passo para deixar tudo bem claro!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma equação paramétrica expressa as coordenadas
e
em função de um terceiro parâmetro, que no nosso caso é o comprimento do arco
. Isso significa que queremos
e
que descrevem cada ponto da curva conforme
varia.
Passo 3
Para achar essas funções paramétricas, precisamos relacionar
com
. O comprimento do arco
desde um ponto inicial até um ponto
na curva é dado pela integral:
Aqui,
é a derivada da função
em relação a
.
Passo 4
Vamos calcular a derivada
da nossa função
:
Passo 5
Agora, substituímos essa derivada na expressão do comprimento do arco:
Passo 6
Essa integral pode ser resolvida por substituição. Vamos fazer:
Quando
,
, e quando
,
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Integrando
:
Passo 8
Agora, temos uma relação entre
e
:
Vamos simplificar para isolar
em função de
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Agora, elevamos ambos os lados à potência
para resolver para
:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Passo 10
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a equação original da curva
:
Resposta
As equações paramétricas da curva
em função do comprimento do arco
são: