Calcule
Onde é o conjunto de todos tais que

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral dupla. A gente precisa calcular:
Onde é o conjunto de todos os pontos que satisfazem .
Para resolver isso, vamos usar integração em coordenadas cartesianas e talvez mudar para coordenadas polares se ajudar. Vamos precisar entender os limites de integração e como a função está se comportando nesse domínio.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As desigualdades indicam que está entre a parábola e a reta .
Vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram para definir os limites de . Igualando , temos:
Então, varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora que sabemos que vai de 0 a 1, e para cada , vai de a , podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:

Passo 4

Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a :
Aqui, é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a .

Passo 5

Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então . No entanto, não temos multiplicando, então essa substituição não é direta. Vamos tentar outra abordagem.
Observando a integral:
Podemos integrar diretamente em relação a , sabendo que a antiderivada de em relação a é:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de de a :
Vamos calcular isso substituindo os limites.

Passo 7

Primeiro, substituímos :
Simplificando:

Passo 8

Agora, substituímos :
Simplificando:

Passo 9

Agora, encontramos a diferença entre os dois resultados:
Simplificando:

Passo 10

Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a de 0 a 1:
Essa integral pode ser resolvida termo a termo, embora algumas partes possam exigir integração por partes ou substituições adicionais.

Resposta

Após calcular todas as integrais, o valor final da integral dupla é dado por:
Simplificando e calculando os termos, obtemos o valor numérico da integral.

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