Calcule
Onde
é o conjunto de todos
tais que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral dupla. A gente precisa calcular:
Onde
é o conjunto de todos os pontos
que satisfazem
.
Para resolver isso, vamos usar integração em coordenadas cartesianas e talvez mudar para coordenadas polares se ajudar. Vamos precisar entender os limites de integração e como a função está se comportando nesse domínio.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As desigualdades
indicam que
está entre a parábola
e a reta
.
Vamos encontrar onde essas duas curvas se encontram para definir os limites de
. Igualando
, temos:
Então,
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora que sabemos que
vai de 0 a 1, e para cada
,
vai de
a
, podemos escrever a integral dupla como uma integral iterada:
Passo 4
Vamos resolver a parte interna da integral, que é em relação a
:
Aqui,
é tratado como uma constante porque estamos integrando em relação a
.
Passo 5
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
. No entanto, não temos
multiplicando, então essa substituição não é direta. Vamos tentar outra abordagem.
Observando a integral:
Podemos integrar diretamente em relação a
, sabendo que a antiderivada de
em relação a
é:
Passo 6
Aplicando os limites de integração de
de
a
:
Vamos calcular isso substituindo os limites.
Passo 7
Primeiro, substituímos
:
Simplificando:
Passo 8
Agora, substituímos
:
Simplificando:
Passo 9
Agora, encontramos a diferença entre os dois resultados:
Simplificando:
Passo 10
Agora, precisamos integrar essa expressão em relação a
de 0 a 1:
Essa integral pode ser resolvida termo a termo, embora algumas partes possam exigir integração por partes ou substituições adicionais.
Resposta
Após calcular todas as integrais, o valor final da integral dupla é dado por:
Simplificando e calculando os termos, obtemos o valor numérico da integral.
Exercícios relacionados
Escreva a equação vetorial da curva de interseção das superfícies
e
.
Ache as equações paramétricas da curva
tendo o comprimento do
como parâmetro, onde
é medido a partir do ponto onde
.
Calcule:
sendo
Calcule:
sendo