Se a curva
tiver
como equação vetorial, ache o cosseno do ângulo entre os vetores
e
.
Passo 1
Beleza, vamos começar! O exercício nos dá a equação vetorial da curva
:
O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo vetorial, especificamente sobre vetores em curvas parametrizadas e o ângulo entre eles. Precisamos encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores
e
, onde
é o vetor tangente à curva no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Basta substituir
na equação da curva:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor tangente
. Para isso, primeiro calculamos a derivada da posição
em relação a
:
Substituindo
:
Então, o vetor tangente
é
.
Passo 4
Para encontrar o cosseno do ângulo entre
e
, usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar:
Passo 5
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 6
Substituindo na fórmula do cosseno:
Para racionalizar o denominador:
Resposta
O cosseno do ângulo entre os vetores
e
é
.