Se a curva C tiver R(t) = 3 t^2 i + (t^3 - 3 t) j como equação vetorial, ache o cosseno do ângulo entre os vetores R(2) e T(2).

Passo 1

Beleza, vamos começar! O exercício nos dá a equação vetorial da curva :
O conteúdo que vamos usar aqui é de cálculo vetorial, especificamente sobre vetores em curvas parametrizadas e o ângulo entre eles. Precisamos encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores e , onde é o vetor tangente à curva no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular . Basta substituir na equação da curva:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor tangente . Para isso, primeiro calculamos a derivada da posição em relação a :
Substituindo :
Então, o vetor tangente é .

Passo 4

Para encontrar o cosseno do ângulo entre e , usamos a fórmula do produto escalar:
Primeiro, calculamos o produto escalar:

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
Para racionalizar o denominador:

Resposta

O cosseno do ângulo entre os vetores e é .

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