Escreva a equação vetorial da curva de interseção das superfícies
e
.
Passo 1
Então, o exercício pede para a gente encontrar a equação vetorial da curva onde duas superfícies se cruzam. As superfícies dadas são
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender de vetores, parametrização de curvas e como encontrar a interseção de superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a interseção dessas duas superfícies. A interseção é o conjunto de pontos que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Ou seja, queremos encontrar todos os pontos
que estão nas duas superfícies ao mesmo tempo.
Passo 3
Sabemos que
. Podemos usar isso para substituir
na segunda equação
. Assim, teremos uma relação que envolve apenas
e
.
Passo 4
Fazendo a substituição, temos:
Agora, temos duas expressões que dependem de
:
Podemos usar o próprio
como parâmetro para descrever a curva, ou seja, vamos usar
no lugar de
.
Passo 5
Substituindo
por
, temos as componentes da equação vetorial:
Essas três equações paramétricas descrevem todas as coordenadas de pontos na curva de interseção.
Resposta
A equação vetorial da curva de interseção é:
Exercícios relacionados
Ache as equações paramétricas da curva
tendo o comprimento do
como parâmetro, onde
é medido a partir do ponto onde
.
Se a curva
tiver
como equação vetorial, ache o cosseno do ângulo entre os vetores
e
.
Calcule
Onde
é o conjunto de todos
tais que
Calcule:
sendo