Ache as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto , é concorrente com a reta e tem vetor diretor u ortogonal ao vetor v=(3,-1,-3).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas de uma reta s: l x = 3lambda + 1 y = 2lambda - 1 z = -5lambda + 3 que passa pelo ponto , que intercepta a reta dada por:
Além disso, o vetor diretor da reta deve ser ortogonal ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de vetores, condições de ortogonalidade e como determinar a equação paramétrica de uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que duas retas são concorrentes se elas se interceptam em um ponto comum. Portanto, a reta que estamos procurando deve passar pelo ponto e também por um ponto de interseção com a reta .
Vamos chamar o ponto de interseção das retas e de . Esse ponto deve satisfazer as equações de ambas as retas.
Passo 3
Para encontrar o ponto Q = (3t + 1, , 2t - 1, , -5t + 3) , usaremos as equações paramétricas da reta . Vamos atribuir um valor específico para o parâmetro para encontrar as coordenadas de .
Vamos supor que , então as coordenadas de serão:
Passo 4
Agora, vamos determinar o vetor diretor u cdot v = 0 da reta 3a - b - 3c = 0 . Sabemos que é ortogonal ao vetor , o que significa que o produto escalar entre eles é zero:
Seja , então:
Passo 5
Como a reta u = Q - P = (3t + 1 + 2, , 2t - 1 - 4, , -5t + 3 + 6) = (3t + 3, , 2t - 5, , -5t + 9) passa pelo ponto e pelo ponto , o vetor será o vetor diretor da reta :
Passo 6
Substituindo 3(3t + 3) - (2t - 5) - 3(-5t + 9) = 0 na equação de ortogonalidade:
Agora que encontramos o valor de Q = (3 cdot 1322 + 1, , 2 cdot 1322 - 1, , -5 cdot 1322 + 3) , substituímos de volta nas equações de Q = (3922 + 2222, , 2622 - 2222, , -6522 + 6622) Q = (6122, , 422, , 122) Q = (6122, , 211, , 122) para encontrar as coordenadas de :
Calculando:
Passo 8
Com os pontos u = Q - P = (6122 + 2, , 211 - 4, , 122 + 6) u = (6122 + 4422, , 211 - 4411, , 122 + 13222) u = (10522, , -4211, , 13322) e determinados, o vetor diretor da reta é:
Resposta
As equações paramétricas da reta r: l x = -2 + 10522 , t y = 4 - 4211 , t z = -6 + 13322 , t são: