Calcule o determinante das matrizes abaixo.
t) T=[rrrrr1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o determinante de uma matriz 5x5 chamada . Nosso conteúdo aqui é o de determinantes de matrizes, e vamos precisar usar operações de linha para simplificar a matriz até conseguir calcular o determinante facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar a matriz T = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 -2 & -7 & 0 & -4 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1 :
Notamos que as últimas três linhas têm muitos zeros, o que é ótimo para simplificar nosso cálculo.

Passo 3

Vamos começar eliminando o elemento abaixo da diagonal principal na segunda coluna. Para isso, vamos usar a operação de linha: adicionar 2 vezes a primeira linha à segunda linha.
Nova linha 2 = Linha 2 + 2 times Linha 1
Calculando:
-2 + 2 times 1 = 0 -7 + 2 times 3 = -1 0 + 2 times 1 = 2 -4 + 2 times 5 = 6 2 + 2 times 3 = 8
Então, a matriz fica:
T = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 2 & 1 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & 1

Passo 4

Agora, vamos eliminar o elemento Nova linha 4 = Linha 4 - 2 times Linha 3 na posição (4,3). Para isso, vamos substituir a quarta linha pela quarta linha menos 2 vezes a terceira linha.
2 - 2 times 1 = 0 1 - 2 times 0 = 1 1 - 2 times 1 = -1
Calculando:
T = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 1 & 1
A matriz atualizada fica:

Passo 5

Vamos agora eliminar o elemento na posição (5,4). Subtraímos a quarta linha da quinta linha para zerar esse elemento.
Nova linha 5 = Linha 5 - Linha 4
Calculando:
1 - 1 = 0 1 - (-1) = 2
A matriz fica:
T = 1 & 3 & 1 & 5 & 3 0 & -1 & 2 & 6 & 8 0 & 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 1 & -1 0 & 0 & 0 & 0 & 2

Passo 6

Agora, a matriz está em forma triangular superior, ou seja, todos os elementos abaixo da diagonal principal são zeros. Nessa forma, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.
Vamos identificar os elementos da diagonal principal:
1, -1, 1, 1, 2
Então, calculamos o produto:
det(T) = 1 times (-1) times 1 times 1 times 2 = -2

Resposta

O determinante da matriz é .

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