e o ponto A=(4,5,1); ache a equação simétrica da reta m que passa por A e seja ortogonal a r e a s. Resposta: x-4-4=y-5=z-1
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a equação simétrica de uma reta que passa pelo ponto e é ortogonal às retas e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender direções de retas, vetores ortogonais e como encontrar a equação de uma reta no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as direções das retas dr = (1, 1, 3) e x = 2 y = t z = 2 - t , t in R . A direção de uma reta é dada pelo vetor que multiplica o parâmetro na sua equação.
Para a reta ds = (0, 1, -1) :
Para a reta , observando as equações paramétricas:
A direção é dada pelas variações de e com relação a , então:
Passo 3
Agora, queremos que a reta seja ortogonal tanto a quanto a . Isso significa que o vetor diretor de , que vamos chamar de , deve ser perpendicular aos vetores e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores conhecidos, usamos o produto vetorial.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial dm = dr times ds = i & j & k 1 & 1 & 3 0 & 1 & -1 :
Agora que temos o vetor diretor x = 4 - 4lambda y = 5 + lambda z = 1 + lambda , lambda in R e sabemos que a reta passa pelo ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta :
Passo 6
Para obter a equação simétrica da reta lambda = x - 4-4 = y - 5 = z - 1 , resolvemos as equações paramétricas para :
Essa é a forma simétrica da equação da reta que estamos procurando.