Dadas as retas
r: X=(0,0,2)+lambda(1,1,3), lambda in R e s:l x=2 y=t z=2-t , t in R
e o ponto A=(4,5,1); ache a equação simétrica da reta m que passa por A e seja ortogonal a r e a s. Resposta: x-4-4=y-5=z-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para encontrarmos a equação simétrica de uma reta que passa pelo ponto e é ortogonal às retas e . Aqui, estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender direções de retas, vetores ortogonais e como encontrar a equação de uma reta no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as direções das retas dr = (1, 1, 3) e x = 2 y = t z = 2 - t , t in R . A direção de uma reta é dada pelo vetor que multiplica o parâmetro na sua equação.
Para a reta ds = (0, 1, -1) :
Para a reta , observando as equações paramétricas:
A direção é dada pelas variações de e com relação a , então:

Passo 3

Agora, queremos que a reta seja ortogonal tanto a quanto a . Isso significa que o vetor diretor de , que vamos chamar de , deve ser perpendicular aos vetores e . Para encontrar um vetor que seja perpendicular a dois vetores conhecidos, usamos o produto vetorial.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial dm = dr times ds = i & j & k 1 & 1 & 3 0 & 1 & -1 :
dm = i(1 cdot (-1) - 3 cdot 1) - j(1 cdot (-1) - 3 cdot 0) + k(1 cdot 1 - 1 cdot 0) = i(-1 - 3) - j(-1 - 0) + k(1 - 0)
Calculando o determinante:
dm = (-4, 1, 1)

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor x = 4 - 4lambda y = 5 + lambda z = 1 + lambda , lambda in R e sabemos que a reta passa pelo ponto , podemos escrever a equação paramétrica da reta :

Passo 6

Para obter a equação simétrica da reta lambda = x - 4-4 = y - 5 = z - 1 , resolvemos as equações paramétricas para :
Essa é a forma simétrica da equação da reta que estamos procurando.

Resposta

x-4-4=y-5=z-1

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