Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
, no ponto que se projeta sobre o plano x0y em
e tem
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície dada pela equação
, que representa uma esfera de raio
. Queremos encontrar:
- A equação do plano tangente a essa esfera em um ponto específico.
- A equação da reta normal a essa superfície nesse mesmo ponto.
O ponto em questão tem a projeção no plano
em
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como planos tangentes a superfícies e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas completas do ponto de tangência na esfera. Sabemos que a projeção no plano
é
, então as coordenadas serão
, onde
.
Substituímos esses valores na equação da esfera para encontrar
:
Portanto, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente à esfera nesse ponto. Para uma esfera
, o vetor normal ao plano tangente no ponto
é simplesmente
.
Então, para o nosso ponto
, o vetor normal é
.
A equação geral de um plano é dada por:
Onde
é o vetor normal e
é o ponto no plano.
Substituindo nossos valores:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto
. A reta normal passa pelo ponto de tangência e tem como direção o vetor normal ao plano, que já sabemos ser
.
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde
é o vetor diretor e
é o parâmetro.
Substituindo nossos valores:
Resposta
Plano tangente:
Reta normal: