Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície , no ponto que se projeta sobre o plano x0y em e tem .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície dada pela equação , que representa uma esfera de raio . Queremos encontrar:
A equação do plano tangente a essa esfera em um ponto específico.
A equação da reta normal a essa superfície nesse mesmo ponto.
O ponto em questão tem a projeção no plano em e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como planos tangentes a superfícies e vetores normais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as coordenadas completas do ponto de tangência na esfera. Sabemos que a projeção no plano é , então as coordenadas serão , onde .
Substituímos esses valores na equação da esfera para encontrar :
Portanto, o ponto de tangência é .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente à esfera nesse ponto. Para uma esfera , o vetor normal ao plano tangente no ponto é simplesmente .
Então, para o nosso ponto , o vetor normal é .
A equação geral de um plano é dada por:
Onde é o vetor normal e é o ponto no plano.
Substituindo nossos valores:
Passo 4
Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto . A reta normal passa pelo ponto de tangência e tem como direção o vetor normal ao plano, que já sabemos ser .