Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície , no ponto que se projeta sobre o plano x0y em e tem .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma superfície dada pela equação , que representa uma esfera de raio . Queremos encontrar:
  1. A equação do plano tangente a essa esfera em um ponto específico.
  2. A equação da reta normal a essa superfície nesse mesmo ponto.
O ponto em questão tem a projeção no plano em e . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como planos tangentes a superfícies e vetores normais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as coordenadas completas do ponto de tangência na esfera. Sabemos que a projeção no plano é , então as coordenadas serão , onde .
Substituímos esses valores na equação da esfera para encontrar :
Portanto, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a equação do plano tangente à esfera nesse ponto. Para uma esfera , o vetor normal ao plano tangente no ponto é simplesmente .
Então, para o nosso ponto , o vetor normal é .
A equação geral de um plano é dada por:
Onde é o vetor normal e é o ponto no plano.
Substituindo nossos valores:

Passo 4

Vamos simplificar essa equação:
Então, a equação do plano tangente é:

Passo 5

Agora, vamos encontrar a equação da reta normal à superfície no ponto . A reta normal passa pelo ponto de tangência e tem como direção o vetor normal ao plano, que já sabemos ser .
A equação paramétrica de uma reta é dada por:
Onde é o vetor diretor e é o parâmetro.
Substituindo nossos valores:

Resposta

Plano tangente:
Reta normal:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de:
Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície no ponto .
Determine o ponto da superfície em que o plano tangente é paralelo ao plano cartesiano x0y.
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de: