Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de: z = y^2/x - x^2/y

Passo 1

Vamos resolver o exercício de cálculo das derivadas parciais de segunda ordem para a função . Aqui, trabalharemos com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Precisaremos calcular as derivadas de primeira ordem em relação a e , e depois derivar novamente para obter as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo constante.
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • Para , usamos a regra do poder:
  • Para , a derivada é:
Portanto:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , mantendo constante.
Derivando cada termo em relação a :
  • Para :
  • Para :
Portanto:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
  • Para :
  • Para :
Portanto:

Passo 5

Vamos calcular agora a derivada parcial de segunda ordem , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
  • Para :
  • Para :
Portanto:

Passo 6

Por último, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem mista , que é a derivada de em relação a .
Derivando em relação a :
  • Para :
  • Para :
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

Exercícios relacionados