Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
Passo 1
Vamos resolver o exercício de cálculo das derivadas parciais de segunda ordem para a função
. Aqui, trabalharemos com cálculo diferencial, especificamente com derivadas parciais. Precisaremos calcular as derivadas de primeira ordem em relação a
e
, e depois derivar novamente para obter as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constante.
A função é:
Derivando cada termo em relação a
:
- Para
, usamos a regra do poder:
- Para
, a derivada é:
Portanto:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, mantendo
constante.
Derivando cada termo em relação a
:
- Para
:
- Para
:
Portanto:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
- Para
:
- Para
:
Portanto:
Passo 5
Vamos calcular agora a derivada parcial de segunda ordem
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
- Para
:
- Para
:
Portanto:
Passo 6
Por último, vamos calcular a derivada parcial de segunda ordem mista
, que é a derivada de
em relação a
.
Derivando
em relação a
:
- Para
:
- Para
:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: