Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações do plano tangente e da linha normal à superfície no ponto . Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais para achar o plano tangente e a normal. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos achar a coordenada do ponto . Substituímos e na equação da superfície:
Então, o ponto completo é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
No ponto , substituímos e :

Passo 4

Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Distribuindo e simplificando:

Passo 5

Para achar a equação da linha normal, usamos o vetor normal ao plano, que é dado pelas derivadas parciais e o coeficiente de na equação do plano. O vetor normal é .
As equações paramétricas da linha normal são:

Resposta

O plano tangente é dado por e a linha normal tem as equações paramétricas:

Exercícios relacionados

Determine as derivadas parciais de:
Estude a continuidade da função .
Determine as derivadas parciais de:
Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície , no ponto que se projeta sobre o plano x0y em e tem .