Determine as equações do plano tangente e da normal à superfície no ponto .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações do plano tangente e da linha normal à superfície no ponto . Aqui, estamos lidando com cálculo multivariável, especificamente derivadas parciais para achar o plano tangente e a normal. Vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 2
Primeiro, vamos achar a coordenada do ponto . Substituímos e na equação da superfície:
Então, o ponto completo é .
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e :
No ponto , substituímos e :
Passo 4
Com as derivadas parciais, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Distribuindo e simplificando:
Passo 5
Para achar a equação da linha normal, usamos o vetor normal ao plano, que é dado pelas derivadas parciais e o coeficiente de na equação do plano. O vetor normal é .
As equações paramétricas da linha normal são:
Resposta
O plano tangente é dado por e a linha normal tem as equações paramétricas: