Determine o ponto da superfície
em que o plano tangente é paralelo ao plano cartesiano x0y.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um ponto na superfície dada por
onde o plano tangente a essa superfície seja paralelo ao plano cartesiano
. Isso envolve conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo Diferencial, especialmente sobre como encontrar planos tangentes e suas inclinações.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o plano tangente ser paralelo ao plano
. O plano
é horizontal, ou seja, ele é paralelo ao eixo
. Portanto, para o plano tangente ser paralelo ao
, ele também precisa ser horizontal. Isso implica que as inclinações nas direções de
e
devem ser nulas.
Passo 3
Para encontrar o plano tangente à superfície em um ponto qualquer
, usamos a fórmula:
Aqui,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Para que o plano tangente seja paralelo ao
, essas derivadas precisam ser iguais a zero:
Passo 5
Resolvendo as equações:
Então, o ponto
é onde o plano tangente pode ser paralelo ao
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor de
nesse ponto substituindo
e
na equação da superfície:
Resposta
O ponto da superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano
é
.
Exercícios relacionados
Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície
, no ponto que se projeta sobre o plano x0y em
e tem
.
Determine as derivadas parciais de:
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
Determine a diferencial total de primeira ordem de: