Determine o ponto da superfície em que o plano tangente é paralelo ao plano cartesiano x0y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um ponto na superfície dada por onde o plano tangente a essa superfície seja paralelo ao plano cartesiano . Isso envolve conhecimentos de Geometria Analítica e Cálculo Diferencial, especialmente sobre como encontrar planos tangentes e suas inclinações.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o plano tangente ser paralelo ao plano . O plano é horizontal, ou seja, ele é paralelo ao eixo . Portanto, para o plano tangente ser paralelo ao , ele também precisa ser horizontal. Isso implica que as inclinações nas direções de e devem ser nulas.

Passo 3

Para encontrar o plano tangente à superfície em um ponto qualquer , usamos a fórmula:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
Para que o plano tangente seja paralelo ao , essas derivadas precisam ser iguais a zero:

Passo 5

Resolvendo as equações:
Então, o ponto é onde o plano tangente pode ser paralelo ao .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor de nesse ponto substituindo e na equação da superfície:

Resposta

O ponto da superfície onde o plano tangente é paralelo ao plano é .

Exercícios relacionados

Ache as equações do plano tangente e da reta normal à superfície , no ponto que se projeta sobre o plano x0y em e tem .
Determine as derivadas parciais de:
Calcule as derivadas parciais de segunda ordem, de:
Determine a diferencial total de primeira ordem de: