Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas retas no espaço tridimensional:
  • Reta r definida por:
  • Reta s definida por:
Queremos encontrar as equações na forma simétrica da reta perpendicular comum às retas r e s. Isso significa que precisamos encontrar uma reta que é perpendicular a ambas as retas dadas e que intersecta ambas elas.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica no espaço, como vetores diretores das retas, produto vetorial para encontrar perpendicularidade, e sistemas de equações para determinar os pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores das retas r e s. O vetor diretor de uma reta é um vetor que indica a direção em que a reta se move.
Para a reta r:
  • Observando as equações paramétricas: Podemos ver que, à medida que varia, a reta se move na direção do vetor diretor .
Para a reta s:
  • A reta s está definida pela interseção dos planos e . Isso significa que a reta s está no plano e tem direção ao longo da linha onde esses dois planos se encontram.
  • Podemos reescrever a equação em termos de : Então, podemos parametrizar a reta s como: Portanto, o vetor diretor da reta s é .

Passo 3

Agora, para encontrar a reta perpendicular comum às retas r e s, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores e .
Uma maneira eficiente de fazer isso é usando o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores resulta em um novo vetor que é perpendicular aos dois vetores originais.
Calculando o produto vetorial :
Então, .
Esse vetor será o vetor diretor da reta perpendicular que estamos buscando.

Passo 4

Com o vetor diretor , precisamos agora encontrar um ponto específico por onde essa reta passa. Esse ponto deve estar simultaneamente na reta perpendicular e ser equidistante das retas r e s.
Para encontrar esse ponto, vamos supor que ele está na reta r para encontrar as coordenadas correspondentes. Na reta r, um ponto genérico é . Queremos que o vetor que liga esse ponto a um ponto na reta s seja perpendicular a ambas as retas.
Vamos considerar um ponto genérico na reta s, que pode ser parametrizado como . O vetor que liga o ponto na reta r a um ponto na reta s é:
Para que seja perpendicular a e , o produto escalar de com e com deve ser zero.
Calculando o produto escalar com :
Então, .

Passo 5

Agora, calculamos o valor de usando o produto escalar com :
Então, .

Passo 6

Agora que temos e , podemos encontrar as coordenadas do ponto na reta r:
Portanto, o ponto de interseção da reta perpendicular comum com a reta r é .

Passo 7

Com o ponto e o vetor diretor , podemos escrever a equação da reta perpendicular comum em forma paramétrica:
Para converter para a forma simétrica, isolamos o parâmetro em cada equação:

Resposta

A reta perpendicular comum às retas r e s na forma simétrica é:

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(onde é o número de unidades enviadas do produto para o depósito , e os produtos são colocados em ordem alfabética). O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é: $ 1,50 por banheira, $1,00 por pia e por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são: , e . Organize esses custos em uma matriz e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa - por caminhão e por trem - de seus produtos para cada um dos dois depósitos.
Verifique se é perpendicular a nos casos:
Seja .
(a) Calcule .
Verifique se é perpendicular a nos casos: