Verifique se é perpendicular a nos casos:

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma reta e um plano definidos por suas equações paramétricas. O objetivo é verificar se a reta é perpendicular ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e vetores normais, além de aplicar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores da reta e do plano . A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
O plano é dado por:
Os vetores diretores do plano são e .

Passo 3

Para verificar se a reta é perpendicular ao plano , precisamos encontrar o vetor normal ao plano . O vetor normal pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores diretores do plano:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Agora, para que a reta seja perpendicular ao plano , o vetor diretor da reta deve ser paralelo ao vetor normal do plano . Isso significa que um deve ser múltiplo do outro. Vamos verificar se existe um número tal que:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , temos , o que não é possível.
  3. De , com , temos , também impossível.
Como não existe um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, concluímos que os vetores e não são paralelos.

Resposta

Não, a reta não é perpendicular ao plano .

Exercícios relacionados

Dados subespaços do espaço vetorial determinar, nos seguintes casos:
(i) uma base e a dimensão de .
(ii) uma base e a dimensão de .
(iii) uma base e a dimensão de .
(iv) uma base e a dimensão de .
, , .
Sejam e subespaços vetoriais de gerados por e respectivamente.
Determine uma base para os espaços e .
Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques) e os envia par armazenamento em dois depósitos. Os números de unidades enviadas de cada produto para cada depósito é dado pela matriz
(onde é o número de unidades enviadas do produto para o depósito , e os produtos são colocados em ordem alfabética). O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é: $ 1,50 por banheira, $1,00 por pia e por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são: , e . Organize esses custos em uma matriz e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa - por caminhão e por trem - de seus produtos para cada um dos dois depósitos.
Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas