Verifique se r é perpendicular a pi nos casos:
r: X=(3,1,4)+lambda(1,-1,1) pi: X=(1,1,1)+gamma(0,1,0)+mu(1,1,1)

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma reta e um plano definidos por suas equações paramétricas. O objetivo é verificar se a reta é perpendicular ao plano . Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de geometria analítica, como vetores diretores e vetores normais, além de aplicar o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores diretores da reta r: X = (3,1,4) + lambda(1,-1,1) e do plano pi: X = (1,1,1) + gamma(0,1,0) + mu(1,1,1) . A reta é dada por:
Aqui, o vetor diretor da reta é .
O plano é dado por:
Os vetores diretores do plano são e .

Passo 3

Para verificar se a reta n = u times v é perpendicular ao plano n = i & j & k 0 & 1 & 0 1 & 1 & 1 = i(1 cdot 1 - 0 cdot 1) - j(0 cdot 1 - 0 cdot 1) + k(0 cdot 1 - 1 cdot 1) = i(1) - j(0) + k(-1) = (1, 0, -1) , precisamos encontrar o vetor normal ao plano . O vetor normal pode ser encontrado através do produto vetorial dos vetores diretores do plano:
Calculando o produto vetorial:
Então, o vetor normal ao plano é .

Passo 4

Agora, para que a reta dr = k n seja perpendicular ao plano (1, -1, 1) = k (1, 0, -1) , o vetor diretor da reta 1 = k cdot 1 -1 = k cdot 0 1 = k cdot (-1) deve ser paralelo ao vetor normal do plano . Isso significa que um deve ser múltiplo do outro. Vamos verificar se existe um número tal que:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 5

Resolvendo o sistema:
  1. De , temos .
  2. De , temos , o que não é possível.
  3. De , com , temos , também impossível.
Como não existe um valor de que satisfaça todas as equações simultaneamente, concluímos que os vetores e não são paralelos.

Resposta

Não, a reta não é perpendicular ao plano .

Exercícios relacionados