Verifique se r é perpendicular a pi nos casos:
r:lrr x= & 1+3 lambda y=r r z= & 1-3 lambda e pi: 6 x-6 y+2 z-1=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma reta x = 1 + 3lambda y = r r z = 1 - 3lambda definida pelas equações paramétricas:
6x - 6y + 2z - 1 = 0
e um plano dado por:
O objetivo é verificar se a reta é perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores de retas e vetores normais de planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta d = 3 ? -3 e o vetor normal do plano d = 3 0 -3 .
  • Vetor diretor da reta n = 6 -6 2 : É o vetor que indica a direção da reta e é obtido a partir dos coeficientes das variáveis nas equações paramétricas. No caso:
Aqui, há uma confusão na equação de que está escrita como . Provavelmente, há um erro de digitação. Vamos supor que seja constante ou dependa de de forma linear. Para continuar, vamos assumir que é constante, ou seja, onde é um número real. Assim, o vetor diretor simplifica para:
  • Vetor normal do plano : É o vetor cujos componentes são os coeficientes de , e na equação do plano:

Passo 3

Agora, para verificar se a reta d = k cdot n é perpendicular ao plano 3 = 6k 0 = -6k -3 = 2k , precisamos verificar se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Se dois vetores são paralelos, então um é múltiplo escalar do outro.
Vamos verificar se existe um número 3 = 6k implies k = 36 = 12 tal que:
0 = -6 cdot 12 = -3 (não é verdade)
Isso significa:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação com :
ãé
Como o valor de não satisfaz todas as equações simultaneamente, os vetores e não são paralelos.

Passo 4

Outra maneira de verificar a perpendicularidade é calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Se o produto escalar for igual a zero, os vetores são perpendiculares.
Calculando o produto escalar:
d cdot n = 3 cdot 6 + 0 cdot (-6) + (-3) cdot 2 = 18 + 0 -6 = 12
Como , os vetores não são perpendiculares.

Resposta

Não, a reta não é perpendicular ao plano .

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