Verifique se é perpendicular a nos casos:

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma reta definida pelas equações paramétricas:
e um plano dado por:
O objetivo é verificar se a reta é perpendicular ao plano . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre vetores diretores de retas e vetores normais de planos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano .
  • Vetor diretor da reta : É o vetor que indica a direção da reta e é obtido a partir dos coeficientes das variáveis nas equações paramétricas. No caso:
Aqui, há uma confusão na equação de que está escrita como . Provavelmente, há um erro de digitação. Vamos supor que seja constante ou dependa de de forma linear. Para continuar, vamos assumir que é constante, ou seja, onde é um número real. Assim, o vetor diretor simplifica para:
  • Vetor normal do plano : É o vetor cujos componentes são os coeficientes de , e na equação do plano:

Passo 3

Agora, para verificar se a reta é perpendicular ao plano , precisamos verificar se o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Se dois vetores são paralelos, então um é múltiplo escalar do outro.
Vamos verificar se existe um número tal que:
Isso significa:
Resolvendo a primeira equação:
Agora, verificamos a segunda equação com :
ãé
Como o valor de não satisfaz todas as equações simultaneamente, os vetores e não são paralelos.

Passo 4

Outra maneira de verificar a perpendicularidade é calcular o produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. Se o produto escalar for igual a zero, os vetores são perpendiculares.
Calculando o produto escalar:
Como , os vetores não são perpendiculares.

Resposta

Não, a reta não é perpendicular ao plano .

Exercícios relacionados

Seja .
(a) Calcule .
Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas
Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta : .
Seja .
(b) Quanto é ? Por quê?