Seja
.
(a) Calcule
.
(a) Calcule
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem a matriz
e precisa calcular as potências de
desde
até
. Para isso, vamos usar a multiplicação de matrizes, que é o processo de multiplicar duas matrizes para obter uma nova matriz resultante.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
, que é simplesmente
multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somar os resultados.
Calculando cada elemento:
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,
Passo 3
Agora, vamos calcular
. Para isso, multiplicamos
por
:
Calculando cada elemento:
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,
Passo 4
Seguimos para
. Multiplicamos
por
:
Calculando cada elemento:
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,
Passo 5
Calculamos agora
multiplicando
por
:
Calculando cada elemento:
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,
Passo 6
Vamos para
multiplicando
por
:
Calculando cada elemento:
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
- Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
- Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,
Passo 7
Finalmente, calculamos
multiplicando
por
:
Como a matriz identidade multiplicada por qualquer matriz resulta na mesma matriz, temos:
Resposta
As potências da matriz
são: