Seja A=(rr0 & 1 -1 & 1).
(a) Calcule A^2, A^3, cdots, A^7.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem a matriz 0 & 1 -1 & 1 e precisa calcular as potências de desde até . Para isso, vamos usar a multiplicação de matrizes, que é o processo de multiplicar duas matrizes para obter uma nova matriz resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular A^2 = A times A = 0 & 1 -1 & 1 times 0 & 1 -1 & 1 , que é simplesmente A^2 = -1 & 1 -1 & 0 multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somar os resultados.
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular A^3 = A^2 times A = -1 & 1 -1 & 0 times 0 & 1 -1 & 1 . Para isso, multiplicamos A^3 = -1 & 0 0 & -1 por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 4

Seguimos para A^4 = A^3 times A = -1 & 0 0 & -1 times 0 & 1 -1 & 1 . Multiplicamos A^4 = 0 & -1 1 & -1 por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 5

Calculamos agora A^5 = A^4 times A = 0 & -1 1 & -1 times 0 & 1 -1 & 1 multiplicando A^5 = 1 & -1 1 & 0 por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 6

Vamos para A^6 = A^5 times A = 1 & -1 1 & 0 times 0 & 1 -1 & 1 multiplicando A^6 = 1 & 0 0 & 1 por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 7

Finalmente, calculamos A^7 = A^6 times A = 1 & 0 0 & 1 times 0 & 1 -1 & 1 multiplicando A^7 = 0 & 1 -1 & 1 por :
Como a matriz identidade multiplicada por qualquer matriz resulta na mesma matriz, temos:

Resposta

As potências da matriz A^2 &= -1 & 1 -1 & 0 , A^3 &= -1 & 0 0 & -1 , A^4 &= 0 & -1 1 & -1 , A^5 &= 1 & -1 1 & 0 , A^6 &= 1 & 0 0 & 1 , A^7 &= 0 & 1 -1 & 1 são:

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