Seja .
(a) Calcule .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matrizes! A gente tem a matriz e precisa calcular as potências de desde até . Para isso, vamos usar a multiplicação de matrizes, que é o processo de multiplicar duas matrizes para obter uma nova matriz resultante.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular , que é simplesmente multiplicada por ela mesma. A multiplicação de matrizes envolve multiplicar as linhas da primeira matriz pelas colunas da segunda matriz e somar os resultados.
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 3

Agora, vamos calcular . Para isso, multiplicamos por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 4

Seguimos para . Multiplicamos por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 5

Calculamos agora multiplicando por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 6

Vamos para multiplicando por :
Calculando cada elemento:
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 1):
  • Primeiro elemento (linha 1, coluna 2):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 1):
  • Segundo elemento (linha 2, coluna 2):
Então,

Passo 7

Finalmente, calculamos multiplicando por :
Como a matriz identidade multiplicada por qualquer matriz resulta na mesma matriz, temos:

Resposta

As potências da matriz são:

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Ache equações sob forma simétrica da reta perpendicular comum às retas reversas
Uma fábrica produz três produtos (banheiras, pias e tanques) e os envia par armazenamento em dois depósitos. Os números de unidades enviadas de cada produto para cada depósito é dado pela matriz
(onde é o número de unidades enviadas do produto para o depósito , e os produtos são colocados em ordem alfabética). O custo de remessa de uma unidade de cada produto, por caminhão, é: $ 1,50 por banheira, $1,00 por pia e por tanque. Os custos unitários correspondentes ao envio por trem são: , e . Organize esses custos em uma matriz e use essa matriz para mostrar como a fábrica pode comparar os custos de remessa - por caminhão e por trem - de seus produtos para cada um dos dois depósitos.
Verifique se é perpendicular a nos casos:
Verifique se os pontos abaixo pertencem à reta : .