Ache as equações de todas as retas que passam pela origem e que são tangentes à curva y = x^3 - 9 x^2 - 16 x.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todas as retas que passam pela origem (ponto ) e que são tangentes à curva . Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e condições de tangência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma reta que passa pela origem tem a forma , onde é o coeficiente angular da reta. Nosso objetivo é encontrar o valor de que faz com que essa reta seja tangente à curva dada.

Passo 3

Para que a reta seja tangente à curva , ela deve tocar a curva em exatamente um ponto. Isso significa que as duas equações têm apenas um ponto em comum.
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Rearranjando os termos, temos:

Passo 4

Essa é uma equação cúbica em . Para que a reta seja tangente à curva, essa equação deve ter uma raiz dupla, ou seja, duas soluções iguais. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática resultante é zero.
Vamos fatorar a equação:
Além da raiz , temos a equação quadrática . Para que haja uma raiz dupla, o discriminante dessa equação quadrática deve ser zero:
Resolvendo para :

Resposta

A reta que passa pela origem e é tangente à curva é:

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