Ache as equações de todas as retas que passam pela origem e que são tangentes à curva
.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Queremos encontrar todas as retas que passam pela origem (ponto
) e que são tangentes à curva
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivadas e condições de tangência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma reta que passa pela origem tem a forma
, onde
é o coeficiente angular da reta. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que faz com que essa reta seja tangente à curva dada.
Passo 3
Para que a reta
seja tangente à curva
, ela deve tocar a curva em exatamente um ponto. Isso significa que as duas equações têm apenas um ponto em comum.
Vamos igualar as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
Rearranjando os termos, temos:
Passo 4
Essa é uma equação cúbica em
. Para que a reta seja tangente à curva, essa equação deve ter uma raiz dupla, ou seja, duas soluções iguais. Isso acontece quando o discriminante da equação quadrática resultante é zero.
Vamos fatorar a equação:
Além da raiz
, temos a equação quadrática
. Para que haja uma raiz dupla, o discriminante
dessa equação quadrática deve ser zero:
Resolvendo para
:
Resposta
A reta que passa pela origem e é tangente à curva
é: