Explique por que a função é descontínua no ponto a :
e) f(x) = { (x^2 - 2x - 8) / (x - 4), se x ≠ 4; 3, se x = 4 }, a = 4

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a função é descontínua no ponto . A função está definida assim:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, limites e simplificação de expressões matemáticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função é contínua em se três condições forem atendidas:
  1. está definida.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. Esse limite é igual a .
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para .

Passo 3

1. está definida:
Sim, pela definição da função, . Então a primeira condição está satisfeita.

Passo 4

2. O limite de quando se aproxima de 4 existe:
Vamos calcular o limite:
Primeiro, tentamos simplificar essa expressão. Vamos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Podemos cancelar no numerador e denominador (desde que ):
Agora, calculamos o limite:
Então, o limite existe e é igual a 6.

Passo 5

3. O limite é igual a :
Comparando o limite que encontramos com :
Como , a terceira condição não é satisfeita.

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de 4 é 6, mas é igual a 3, a função é descontínua no ponto .

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