Explique por que a função é descontínua no ponto
:
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para explicar por que a função
é descontínua no ponto
. A função está definida assim:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de continuidade, limites e simplificação de expressões matemáticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. A função
é contínua em
se três condições forem atendidas:
-
está definida. - O limite de
quando se aproxima de existe. - Esse limite é igual a
.
Então, vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1.
está definida:
Sim, pela definição da função, . Então a primeira condição está satisfeita.
Sim, pela definição da função,
Passo 4
2. O limite de
quando
se aproxima de 4 existe:
Vamos calcular o limite:
Vamos calcular o limite:
Primeiro, tentamos simplificar essa expressão. Vamos fatorar o numerador:
Então, a expressão fica:
Podemos cancelar
no numerador e denominador (desde que
):
Agora, calculamos o limite:
Então, o limite existe e é igual a 6.
Passo 5
3. O limite é igual a
:
Comparando o limite que encontramos com :
Comparando o limite que encontramos com
Como
, a terceira condição não é satisfeita.
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de 4 é 6, mas
é igual a 3, a função
é descontínua no ponto
.