Calcular os seguintes limites: lim x +infty x cdot sen(pix).

Passo 1

Vamos lá! Precisamos calcular o limite quando tende a mais infinito de multiplicado pelo seno de . Isso está dentro do estudo de limites em cálculo, especialmente envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar saber que, para ângulos bem pequenininhos, o seno de um ângulo é aproximadamente igual ao próprio ângulo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma propriedade importante do seno. Quando o ângulo limtheta to 0 sin(theta)theta = 1 está muito próximo de zero, ou seja, , temos que:
Isso quer dizer que pode ser aproximado por quando é bem pequeno.

Passo 3

No nosso caso, o ângulo dentro do seno é sin(pix) approx pix . Conforme cresce e tende ao infinito, fica cada vez menor, se aproximando de zero. Então, podemos usar a aproximação:

Passo 4

Substituindo essa aproximação na expressão original, temos:
x cdot sin(pix) approx x cdot pix = pi

Resposta

O limite é .

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