Ache as equações vetorial e paramétricas do plano que contém os pontos A=(0,1,0), B=(1,0,1) e C= (0,0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores AB = B - A = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1) e AC = C - A = (0-0, 0-1, 1-0) = (0, -1, 1) :

Passo 3

Com esses dois vetores no plano, a próxima coisa a fazer é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores n = AB times AC = i & j & k 1 & -1 & 1 0 & -1 & 1 e n = i((-1)(1) - (1)(-1)) - j((1)(1) - (1)(0)) + k((1)(-1) - (-1)(0)) . Para isso, usamos o produto vetorial:
n = i(-1 + 1) - j(1 - 0) + k(-1 - 0)
Calculando o determinante:
n = i(0) - j(1) + k(-1) = (0, -1, -1)

Passo 4

Agora que temos o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 , podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação geral de um plano é:
(0, -1, -1) cdot (x - 0, y - 1, z - 0) = 0
Onde 0(x) -1(y - 1) -1(z) = 0 é o vetor posição qualquer no plano e - y + 1 - z = 0 Rightarrow y + z = 1 é o vetor posição de um ponto conhecido no plano (podemos usar o ponto ). Substituindo:

Passo 5

Agora vamos para a equação paramétrica do plano. Para isso, escolhemos um ponto de partida, digamos x = x0 + a cdot s + b cdot t y = y0 + c cdot s + d cdot t z = z0 + e cdot s + f cdot t , e usamos os vetores x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t = s y = 1 -1 cdot s -1 cdot t z = 0 + 1 cdot s +1 cdot t = s + t e x = s como direções. A equação paramétrica fica assim:
y = 1 - s - t
Substituindo os valores:
z = s + t
Então, as equações paramétricas são:

Resposta

As equações do plano são:
Equação vetorial:
y + z = 1
Equações paramétricas:
x = s y = 1 - s - t z = s + t
Onde e são parâmetros reais.

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