Ache as equações vetorial e paramétricas do plano que contém os pontos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores e :

Passo 3

Com esses dois vetores no plano, a próxima coisa a fazer é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o determinante:

Passo 4

Agora que temos o vetor normal , podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação geral de um plano é:
Onde é o vetor posição qualquer no plano e é o vetor posição de um ponto conhecido no plano (podemos usar o ponto ). Substituindo:

Passo 5

Agora vamos para a equação paramétrica do plano. Para isso, escolhemos um ponto de partida, digamos , e usamos os vetores e como direções. A equação paramétrica fica assim:
Substituindo os valores:
Então, as equações paramétricas são:

Resposta

As equações do plano são:
Equação vetorial:
Equações paramétricas:
Onde e são parâmetros reais.

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S
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