Ache as equações vetorial e paramétricas do plano que contém os pontos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações vetorial e paramétricas de um plano que passa pelos pontos , e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e equações de planos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar dois vetores que estão no plano. Podemos fazer isso subtraindo as coordenadas dos pontos. Vamos calcular os vetores e :
Passo 3
Com esses dois vetores no plano, a próxima coisa a fazer é encontrar o vetor normal ao plano, que é perpendicular a ambos os vetores e . Para isso, usamos o produto vetorial:
Calculando o determinante:
n = i(0) - j(1) + k(-1) = (0, -1, -1)
Passo 4
Agora que temos o vetor normal n cdot (r - r0) = 0 , podemos escrever a equação vetorial do plano. A equação geral de um plano é:
(0, -1, -1) cdot (x - 0, y - 1, z - 0) = 0
Onde 0(x) -1(y - 1) -1(z) = 0 é o vetor posição qualquer no plano e - y + 1 - z = 0 Rightarrow y + z = 1 é o vetor posição de um ponto conhecido no plano (podemos usar o ponto ). Substituindo:
Passo 5
Agora vamos para a equação paramétrica do plano. Para isso, escolhemos um ponto de partida, digamos x = x0 + a cdot s + b cdot t y = y0 + c cdot s + d cdot t z = z0 + e cdot s + f cdot t , e usamos os vetores x = 0 + 1 cdot s + 0 cdot t = s y = 1 -1 cdot s -1 cdot t z = 0 + 1 cdot s +1 cdot t = s + t e x = s como direções. A equação paramétrica fica assim: