Verifique se r=s nos casos: b) r: X=(1,1,0)+lambda(1,0,-12)(lambda in R) e s: X=(0,1, 12)+mu(-2,0,1) (mu in R)

Passo 1

Beleza! Vamos analisar o exercício que você me enviou. A gente precisa verificar se duas retas, chamadas de e , são iguais. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre representação paramétrica de retas no espaço. Vamos precisar comparar os vetores diretores e verificar se um ponto de uma reta está na outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas das duas retas:
  • Reta X = (1, 1, 0) + lambda cdot (1, 0, -12), lambda in R :
    X = (0, 1, 12) + mu cdot (-2, 0, 1), mu in R
    Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor de .
  • Reta :
    Aqui, é um ponto na reta e é o vetor diretor de .

Passo 3

Vamos comparar os vetores diretores das duas retas para ver se são proporcionais. Dois vetores são proporcionais se um é múltiplo escalar do outro.
Vetor diretor de (1, 0, -12) = k cdot (-2, 0, 1) : 1 = -2k 0 = 0k -12 = k cdot 1
Vetor diretor de -12 = -12 times 1 :
Vamos ver se existe um número tal que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Da segunda equação, vemos que está tudo certo. Da primeira, implica . Verificando a terceira equação:
Está correta! Isso significa que os vetores diretores são proporcionais, com .

Passo 4

Agora que sabemos que os vetores diretores são proporcionais, precisamos verificar se as retas passam pelo mesmo conjunto de pontos. Para isso, vamos verificar se o ponto de uma reta está na outra reta.
Vamos verificar se o ponto (1, 1, 0) = (0, 1, 12) + mu cdot (-2, 0, 1) da reta 1 = 0 - 2mu 1 = 1 + 0mu 0 = 12 + mu times 1 está na reta 1 = -2mu implies mu = -12 0 = 12 + mu implies mu = -12 . Substituímos nas equações paramétricas de :
Isso nos dá o sistema:
Da segunda equação, temos , que é verdadeira, mas das outras duas:
As duas equações resultam no mesmo valor de , então o ponto está na reta .

Resposta

As retas e são iguais.

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