Um plano tem por equação geral x+2 y-z-1=0. Obtenha equações paramétricas desse plano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a equação geral de um plano: . Nosso objetivo é encontrar as equações paramétricas desse plano. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço tridimensional. Precisamos identificar um ponto no plano e dois vetores diretores que estão dentro do plano para montar as equações paramétricas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar um ponto que pertence ao plano. Podemos fazer isso escolhendo valores para duas das variáveis e resolvendo para a terceira. Por exemplo, vamos deixar x + 2(0) - 0 - 1 = 0 Rightarrow x - 1 = 0 Rightarrow x = 1 e :
Então, um ponto no plano é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar dois vetores que estão no plano, ou seja, vetores diretores. Para isso, vamos encontrar duas soluções diferentes para a equação do plano ao atribuir valores diferentes a x + 2(1) - 0 - 1 = 0 Rightarrow x + 2 - 1 = 0 Rightarrow x = -1 e u = P1 - P = (-1 - 1, 1 - 0, 0 - 0) = (-2, 1, 0) .
Primeira direção:
Vamos deixar x + 2(0) - 1 - 1 = 0 Rightarrow x - 2 = 0 Rightarrow x = 2 e v = P2 - P = (2 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (1, 0, 1) :
Então, o ponto correspondente é . O vetor diretor é:
Segunda direção:
Vamos deixar e :
Então, o ponto correspondente é . O vetor diretor é:

Passo 4

Com o ponto x = x0 + ux cdot t + vx cdot s y = y0 + uy cdot t + vy cdot s z = z0 + uz cdot t + vz cdot s e os vetores diretores e , podemos montar as equações paramétricas do plano. As equações paramétricas de um plano são dadas por:
onde é o ponto no plano, e são os vetores diretores, e e são parâmetros reais.

Resposta

As equações paramétricas do plano são:
x = 1 - 2t + s y = 0 + t z = 0 + 0t + s
ou simplificando,
x = 1 - 2t + s y = t z = s
onde e são parâmetros reais.

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