Resolva os sistemas pela regra de Cramer:
c) l3 x-y+z=1 2 x+3 z=-1 4 x+y-2 x=7
S -x+y-z & =5 x+2 y+4 z & =4 3 x+y-2 x & =-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Regra de Cramer. O sistema que temos é:
-x + y - z = 5 x + 2y + 4z = 4 3x + y - 2z = -3
Para resolver isso, vamos precisar calcular os determinantes da matriz principal e das matrizes que substituem cada coluna pela coluna dos resultados. A Regra de Cramer é uma ótima ferramenta para sistemas lineares como esse, onde temos o mesmo número de equações e incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz dos coeficientes e calcular o seu determinante, que chamaremos de D = -1 & 1 & -1 1 & 2 & 4 3 & 1 & -2 . A matriz dos coeficientes é:
D = (-1) times 2 & 4 1 & -2 - 1 times 1 & 4 3 & -2 + (-1) times 1 & 2 3 & 1
Agora, vamos calcular esse determinante:
2 & 4 1 & -2 &= (2)(-2) - (4)(1) = -4 - 4 = -8 1 & 4 3 & -2 &= (1)(-2) - (4)(3) = -2 - 12 = -14 1 & 2 3 & 1 &= (1)(1) - (2)(3) = 1 - 6 = -5
Calculando cada menor:
D = (-1)(-8) - 1(-14) + (-1)(-5) = 8 + 14 + 5 = 27
Substituindo de volta:

Passo 3

Agora, vamos calcular os determinantes Dx = 5 & 1 & -1 4 & 2 & 4 -3 & 1 & -2 , Dx = 5 times 2 & 4 1 & -2 - 1 times 4 & 4 -3 & -2 + (-1) times 4 & 2 -3 & 1 e 2 & 4 1 & -2 &= (2)(-2) - (4)(1) = -4 - 4 = -8 4 & 4 -3 & -2 &= (4)(-2) - (4)(-3) = -8 + 12 = 4 4 & 2 -3 & 1 &= (4)(1) - (2)(-3) = 4 + 6 = 10 substituindo, respectivamente, as colunas de Dx = 5(-8) - 1(4) + (-1)(10) = -40 - 4 - 10 = -54 , Dy = -1 & 5 & -1 1 & 4 & 4 3 & -3 & -2 e Dy = (-1) times 4 & 4 -3 & -2 - 5 times 1 & 4 3 & -2 + (-1) times 1 & 4 3 & -3 pelos resultados das equações.
Para 4 & 4 -3 & -2 &= (4)(-2) - (4)(-3) = -8 + 12 = 4 1 & 4 3 & -2 &= (1)(-2) - (4)(3) = -2 - 12 = -14 1 & 4 3 & -3 &= (1)(-3) - (4)(3) = -3 - 12 = -15 :
Substituímos a coluna de Dy = (-1)(4) - 5(-14) + (-1)(-15) = -4 + 70 + 15 = 81 pelos termos do lado direito:
Dz = -1 & 1 & 5 1 & 2 & 4 3 & 1 & -3
Calculando:
Dz = (-1) times 2 & 4 1 & -3 - 1 times 1 & 4 3 & -3 + 5 times 1 & 2 3 & 1
2 & 4 1 & -3 &= (2)(-3) - (4)(1) = -6 - 4 = -10 1 & 4 3 & -3 &= (1)(-3) - (4)(3) = -3 - 12 = -15 1 & 2 3 & 1 &= (1)(1) - (2)(3) = 1 - 6 = -5
Substituindo:
Dz = (-1)(-10) - 1(-15) + 5(-5) = 10 + 15 - 25 = 0
Para :
Substituímos a coluna de :
Calculando:
Substituindo:
Para :
Substituímos a coluna de :
Calculando:
Substituindo:

Passo 4

Agora que temos os determinantes, vamos aplicar a Regra de Cramer para encontrar as soluções x = DxD = -5427 = -2 , y = DyD = 8127 = 3 e z = DzD = 027 = 0 :

Resposta

As soluções do sistema são:
x = -2, y = 3, z = 0

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