• Ache as equalos dos planos en R^3 ortogonais ao vetor (2,2,2), que distam raiz3 do ponto (1,1, L). Estes planos sá subes pacos de R^3 ?
    En caso afirmativo encoítre uma base para etes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar as equações dos planos em que são ortogonais ao vetor e que estão a uma distância de do ponto . Além disso, precisamos verificar se esses planos são subespaços de e, se forem, encontrar uma base para eles. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre equações de planos e distância de pontos a planos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a equação de um plano que é ortogonal a um vetor dado. Se o vetor normal ao plano é a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0 , então a equação do plano pode ser escrita como:
2(x - x0) + 2(y - y0) + 2(z - z0) = 0
onde é um ponto qualquer do plano.
No nosso caso, o vetor normal é , então a equação do plano fica:

Passo 3

Agora, precisamos considerar a condição de que o plano está a uma distância de d = |Ax1 + By1 + Cz1 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 do ponto . A fórmula para a distância de um ponto a um plano ��:
Queremos que essa distância seja .

Passo 4

Vamos reescrever a equação do plano na forma geral 2x + 2y + 2z + D = 0 . Para o nosso plano, temos:
raiz3 = |2 cdot 1 + 2 cdot 1 + 2 cdot L + D|raiz2^2 + 2^2 + 2^2 = |2 + 2 + 2L + D|raiz12 = |4 + 2L + D|2raiz3
Agora, aplicando a fórmula da distância:
2raiz3 cdot raiz3 = |4 + 2L + D|
Multiplicando ambos os lados por 6 = |4 + 2L + D| :
4 + 2L + D = 6 ou 4 + 2L + D = -6
D = 6 - 4 - 2L = 2 - 2L ou D = -6 - 4 - 2L = -10 - 2L
Isso nos dá duas possibilidades:
Resolvendo para :

Passo 5

Então, temos duas equações de planos que satisfazem as condições dadas:
2x + 2y + 2z + (2 - 2L) = 0 e 2x + 2y + 2z + (-10 - 2L) = 0
Podemos simplificar essas equações dividindo todos os termos por 2:
x + y + z + (1 - L) = 0 e x + y + z + (-5 - L) = 0

Passo 6

Agora, vamos verificar se esses planos são subespaços de 0 + 0 + 0 + (1 - L) = 1 - L = 0 implies L = 1 . Para que um plano seja um subespaço, ele deve passar pela origem, ou seja, quando 0 + 0 + 0 + (-5 - L) = -5 - L = 0 implies L = -5 , a equação deve ser satisfeita.
Vamos substituir na primeira equação:
E na segunda:
Isso significa que apenas para ou , os planos passam pela origem e são subespaços de .

Passo 7

Finalmente, vamos encontrar uma base para esses subespaços quando x + y + z + (1 - 1) = x + y + z = 0 e (s, t, -s - t) = s(1, 0, -1) + t(0, 1, -1) .
Para x + y + z + (-5 - (-5)) = x + y + z = 0 , a equação do plano é:
Podemos parametrizar duas variáveis, por exemplo, e , então . Assim, os vetores da base são:
Portanto, uma base é .
Para , a equação do plano é:
A parametrização e a base serão as mesmas que para .

Resposta

As equações dos planos são para e para . Esses planos são subespaços de e uma base para eles é .

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