• Cousidere a Tranfformacar linear
T: R^2 & longrightarrow R (x, y) & longmapsto T(x, y)=3 x+2 y
Enwutre o núcleo desta Transformacas linear Chual éa dimeusáo do núlloo e à dimensás da Imogen de T?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação linear definida por . O que a gente precisa encontrar aqui é o núcleo dessa transformação, além das dimensões do núcleo e da imagem de . Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como o que é núcleo (ou kernel) e imagem de uma transformação linear, além de entender suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para zero por . Ou seja,
Então, vamos encontrar os valores de e que satisfazem .

Passo 3

Resolvendo a equação 3x + 2y = 0 implies 3x = -2y implies x = -23y :
(x, y) = ( -23y, , y ) = y ( -23, , 1 )
Isso significa que todos os vetores no núcleo podem ser escritos em termos de . Vamos parametrizar:

Passo 4

Agora, identificamos que o núcleo é gerado pelo vetor Ker(T) = span ( -23, , 1 ) . Isso quer dizer que:
dim(Ker(T)) = 1
A dimensão do núcleo, chamada de nulidade, é o número de vetores na base do núcleo. Aqui, temos apenas um vetor, então:

Passo 5

Para encontrar a dimensão da imagem de dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^2) = 2 , usamos o Teorema da Dimensão, que nos diz que:
1 + dim(Im(T)) = 2 implies dim(Im(T)) = 1
Já sabemos que , então:

Resposta

O núcleo de é o conjunto , a dimensão do núcleo é e a dimensão da imagem de também é .

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