• Cousidere a Tranfformacar linear
T: R^2 & longrightarrow R (x, y) & longmapsto T(x, y)=3 x+2 y
Enwutre o núcleo desta Transformacas linear Chual éa dimeusáo do núlloo e à dimensás da Imogen de T?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação linear definida por . O que a gente precisa encontrar aqui é o núcleo dessa transformação, além das dimensões do núcleo e da imagem de . Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como o que é núcleo (ou kernel) e imagem de uma transformação linear, além de entender suas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de Ker(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = 0 , denotado por , é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para zero por . Ou seja,
Então, vamos encontrar os valores de e que satisfazem .

Passo 3

Resolvendo a equação 3x + 2y = 0 implies 3x = -2y implies x = -23y :
(x, y) = ( -23y, , y ) = y ( -23, , 1 )
Isso significa que todos os vetores no núcleo podem ser escritos em termos de . Vamos parametrizar:

Passo 4

Agora, identificamos que o núcleo é gerado pelo vetor Ker(T) = span ( -23, , 1 ) . Isso quer dizer que:
dim(Ker(T)) = 1
A dimensão do núcleo, chamada de nulidade, é o número de vetores na base do núcleo. Aqui, temos apenas um vetor, então:

Passo 5

Para encontrar a dimensão da imagem de dim(Ker(T)) + dim(Im(T)) = dim(R^2) = 2 , usamos o Teorema da Dimensão, que nos diz que:
1 + dim(Im(T)) = 2 implies dim(Im(T)) = 1
Já sabemos que , então:

Resposta

O núcleo de é o conjunto , a dimensão do núcleo é e a dimensão da imagem de também é .

Exercícios relacionados

Ainda com A=(2,-1) e B=(5,1), o ponto P tem abcissa x e A P é perpendicular a AB. Qual é a ordenada de P?
  • Comidere as retas (x, y, z)=t(1,2,-3) e (x, z)=(0,1,2)+s(2, mu,-6) ene R^3. Emcontre a equacéo geval do plano que contern essas deras setas e ache una base ortonor mal para este plano. Complete esta baxe ortonormal de R^3.
Dê a matriz de mudança da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3) e da base F para a base E, onde
f1 & =e1-e2+e3 f2 & =3 e1-2 e2-e3 f3 & =e1+2 e2+e3
Além disso, encontre v=-2 e1+e2-e3 na base F.
  • Ache as equalos dos planos en R^3 ortogonais ao vetor (2,2,2), que distam raiz3 do ponto (1,1, L). Estes planos sá subes pacos de R^3 ?
    En caso afirmativo encoítre uma base para etes.