- Cousidere a Tranfformacar linear
Enwutre o núcleo desta Transformacas linear Chual éa dimeusáo do núlloo e à dimensás da Imogen de T?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações lineares! A gente tem uma transformação linear
definida por
. O que a gente precisa encontrar aqui é o núcleo dessa transformação, além das dimensões do núcleo e da imagem de
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de álgebra linear, como o que é núcleo (ou kernel) e imagem de uma transformação linear, além de entender suas dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o núcleo de uma transformação linear. O núcleo de
, denotado por
, é o conjunto de todos os vetores
em
que são mapeados para zero por
. Ou seja,
Então, vamos encontrar os valores de
e
que satisfazem
.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Isso significa que todos os vetores no núcleo podem ser escritos em termos de
. Vamos parametrizar:
Passo 4
Agora, identificamos que o núcleo é gerado pelo vetor
. Isso quer dizer que:
A dimensão do núcleo, chamada de nulidade, é o número de vetores na base do núcleo. Aqui, temos apenas um vetor, então:
Passo 5
Para encontrar a dimensão da imagem de
, usamos o Teorema da Dimensão, que nos diz que:
Já sabemos que
, então:
Resposta
O núcleo de
é o conjunto
, a dimensão do núcleo é
e a dimensão da imagem de
também é
.