Seja E=(e1, e2, e3) uma base, e F=(f1, f2, f3) com
& f1=2 e1-e3 & f2=e2+2 e3 & f3=7 e3
Verifique que F é uma base e ache w=e1+e2+e3 em termos da base F.

Passo 1

Beleza, então temos um exercício de Álgebra Linear aqui! A gente precisa verificar se o conjunto de vetores forma uma base no espaço, e depois expressar o vetor usando essa base . Para isso, vamos precisar entender sobre bases, combinações lineares e matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos checar se realmente forma uma base. Lembra que uma base precisa ter vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço. No nosso caso, como estamos trabalhando em e temos 3 vetores, basta garantirmos que eles são linearmente independentes.

Passo 3

Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores A = 2 & 0 & 0 0 & 1 & 0 -1 & 2 & 7 escritos em termos da base . Assim, temos:

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 2 cdot (1 cdot 7 - 0 cdot 2) - 0 cdot (0 cdot 7 - (-1) cdot 0) + 0 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot (-1)) = 2 cdot 7 = 14 . Se o determinante for diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Como , concluímos que é uma base.

Passo 5

Agora que sabemos que w = af1 + bf2 + cf3 é uma base, vamos expressar e1 + e2 + e3 = a(2e1 - e3) + b(e2 + 2e3) + c(7e3) como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo os vetores de :

Passo 6

Vamos distribuir os escalares e agrupar os termos semelhantes:
e1 + e2 + e3 = (2a)e1 + be2 + (-a + 2b + 7c)e3
Agora, igualamos os coeficientes das componentes correspondentes:
2a = 1 b = 1 -a + 2b + 7c = 1

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. De - 12 + 2(1) + 7c = 1 - 12 + 2 + 7c = 1 32 + 7c = 1 7c = 1 - 32 7c = -12 c = -114 , temos .
  2. De , já sabemos que .
  3. Substituindo e na terceira equação:

Resposta

Portanto, o vetor w = 12f1 + 1f2 - 114f3 pode ser escrito em termos da base como:

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