Verifique que é uma base e ache em termos da base .
Passo 1
Beleza, então temos um exercício de Álgebra Linear aqui! A gente precisa verificar se o conjunto de vetores forma uma base no espaço, e depois expressar o vetor usando essa base . Para isso, vamos precisar entender sobre bases, combinações lineares e matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos checar se realmente forma uma base. Lembra que uma base precisa ter vetores que são linearmente independentes e que “geram” todo o espaço. No nosso caso, como estamos trabalhando em e temos 3 vetores, basta garantirmos que eles são linearmente independentes.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos montar uma matriz cujas colunas são os vetores escritos em termos da base . Assim, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz det(A) = 2 cdot (1 cdot 7 - 0 cdot 2) - 0 cdot (0 cdot 7 - (-1) cdot 0) + 0 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot (-1)) = 2 cdot 7 = 14 . Se o determinante for diferente de zero, isso significa que os vetores são linearmente independentes e, portanto, formam uma base.
Como , concluímos que é uma base.
Passo 5
Agora que sabemos que w = af1 + bf2 + cf3 é uma base, vamos expressar e1 + e2 + e3 = a(2e1 - e3) + b(e2 + 2e3) + c(7e3) como uma combinação linear dos vetores de . Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:
Substituindo os vetores de :
Passo 6
Vamos distribuir os escalares e agrupar os termos semelhantes:
e1 + e2 + e3 = (2a)e1 + be2 + (-a + 2b + 7c)e3
Agora, igualamos os coeficientes das componentes correspondentes: