Dê a matriz de mudança da base para a base e da base para a base , onde
Além disso, encontre na base .
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases no espaço tridimensional: a base padrão e uma outra base definida pelas combinações das . Queremos descobrir como passar de uma base para a outra usando matrizes de mudança de base. Além disso, precisamos escrever o vetor na base .
Para resolver isso, vamos precisar:
Conhecer o que é uma matriz de mudança de base.
Saber como montar essas matrizes usando as coordenadas dos vetores das bases.
Entender como transformar um vetor de uma base para outra usando essas matrizes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a matriz de mudança da base para a base , que chamaremos de . Essa matriz é formada pelas coordenadas dos vetores de em relação à base .
Dado:
As coordenadas de cada em são os coeficientes das . Assim, a matriz fica:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança da base det([I]E^F) = 1 cdot (-2 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - 3 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1 cdot (-1 cdot (-1) - (-2) cdot 1) = 1 cdot (-2 -1) - 3 cdot (-1 -1) + 1 cdot (1 +2) = -3 + 6 + 3 = 6 para a base [I]F^E = 16 -2 & 3 & 1 1 & 1 & -1 2 & 0 & 0 , que é a matriz inversa de . Vamos chamar essa matriz de .
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Usando a fórmula da matriz inversa, encontramos:
Passo 4
Finalmente, vamos encontrar as coordenadas do vetor [I]E^F x y z = -2 1 -1 na base 1 & 3 & 1 -1 & -2 & 2 1 & -1 & 1 x y z = -2 1 -1 . Para isso, usamos a matriz de mudança x y z = [I]F^E -2 1 -1 = 16 -2 & 3 & 1 1 & 1 & -1 2 & 0 & 0 -2 1 -1 .