Dê a matriz de mudança da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3) e da base F para a base E, onde
f1 & =e1-e2+e3 f2 & =3 e1-2 e2-e3 f3 & =e1+2 e2+e3
Além disso, encontre v=-2 e1+e2-e3 na base F.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas bases no espaço tridimensional: a base padrão e uma outra base definida pelas combinações das . Queremos descobrir como passar de uma base para a outra usando matrizes de mudança de base. Além disso, precisamos escrever o vetor na base .
Para resolver isso, vamos precisar:
  • Conhecer o que é uma matriz de mudança de base.
  • Saber como montar essas matrizes usando as coordenadas dos vetores das bases.
  • Entender como transformar um vetor de uma base para outra usando essas matrizes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz de mudança da base f1 &= e1 - e2 + e3 f2 &= 3e1 - 2e2 - e3 f3 &= e1 + 2e2 + e3 para a base [I]E^F = 1 & 3 & 1 -1 & -2 & 2 1 & -1 & 1 , que chamaremos de . Essa matriz é formada pelas coordenadas dos vetores de em relação à base .
Dado:
As coordenadas de cada em são os coeficientes das . Assim, a matriz fica:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a matriz de mudança da base det([I]E^F) = 1 cdot (-2 cdot 1 - (-1) cdot (-1)) - 3 cdot (-1 cdot 1 - 1 cdot 1) + 1 cdot (-1 cdot (-1) - (-2) cdot 1) = 1 cdot (-2 -1) - 3 cdot (-1 -1) + 1 cdot (1 +2) = -3 + 6 + 3 = 6 para a base [I]F^E = 16 -2 & 3 & 1 1 & 1 & -1 2 & 0 & 0 , que é a matriz inversa de . Vamos chamar essa matriz de .
Primeiro, calculamos o determinante de :
Como o determinante é diferente de zero, a matriz é invertível. Usando a fórmula da matriz inversa, encontramos:

Passo 4

Finalmente, vamos encontrar as coordenadas do vetor [I]E^F x y z = -2 1 -1 na base 1 & 3 & 1 -1 & -2 & 2 1 & -1 & 1 x y z = -2 1 -1 . Para isso, usamos a matriz de mudança x y z = [I]F^E -2 1 -1 = 16 -2 & 3 & 1 1 & 1 & -1 2 & 0 & 0 -2 1 -1 .
A ideia é resolver o sistema:
x &= 16 (-2 cdot (-2) + 3 cdot 1 + 1 cdot (-1)) = 16 (4 + 3 -1) = 66 = 1 y &= 16 (1 cdot (-2) + 1 cdot 1 + (-1) cdot (-1)) = 16 (-2 +1 +1) = 0 z &= 16 (2 cdot (-2) + 0 cdot 1 + 0 cdot (-1)) = 16 (-4) = -23
Ou seja:
Para resolver, multiplicamos ambos os lados por :
Calculando:

Resposta

A matriz de mudança da base [I]E^F = 1 & 3 & 1 -1 & -2 & 2 1 & -1 & 1 para a base [I]F^E = 16 -2 & 3 & 1 1 & 1 & -1 2 & 0 & 0 é
vF = 1 0 -dfrac23
a matriz de mudança da base para a base é
E o vetor na base é

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