Resolva e classifique os sistemas abaixo
rx-y+2 z=5 2 x-2 y+4 z=10 3 x-3 y+6 z=15

Passo 1

Beleza, vamos resolver e classificar um sistema de equações lineares. O que temos aqui são três equações com três incógnitas: , e . Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente métodos para resolver sistemas de equações, como substituição ou escalonamento. Nosso objetivo é descobrir se existe uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que temos:
x - y + 2z = 5 (1) 2x - 2y + 4z = 10 (2) 3x - 3y + 6z = 15 (3)
Perceba que a segunda equação é o dobro da primeira e a terceira é o triplo da primeira. Isso significa que todas as equações são múltiplos umas das outras, indicando que elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Como todas as equações são múltiplos umas das outras, isso sugere que não temos equações independentes suficientes para determinar valores únicos para , e . Em outras palavras, o sistema não tem uma única solução, mas sim um conjunto infinito de soluções que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Para expressar as soluções, podemos escolher uma das variáveis como parâmetro. Vamos resolver a primeira equação para x = y - 2z + 5 :
(x, y, z) = (y - 2z + 5, y, z)
Aqui, podemos deixar e livres para assumirem qualquer valor real. Assim, as soluções do sistema podem ser representadas da seguinte forma:
Onde e são parâmetros que podem variar livremente.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções. As soluções podem ser representadas por:
(x, y, z) = (y - 2z + 5, y, z)
onde e são quaisquer números reais.

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