Resolva e classifique os sistemas abaixo
rx-y+2 z=5 2 x-2 y+4 z=10 3 x-3 y+6 z=15

Passo 1

Beleza, vamos resolver e classificar um sistema de equações lineares. O que temos aqui são três equações com três incógnitas: , e . Vamos precisar usar álgebra linear, especificamente métodos para resolver sistemas de equações, como substituição ou escalonamento. Nosso objetivo é descobrir se existe uma solução única, infinitas soluções ou nenhuma solução para esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar as equações que temos:
x - y + 2z = 5 (1) 2x - 2y + 4z = 10 (2) 3x - 3y + 6z = 15 (3)
Perceba que a segunda equação é o dobro da primeira e a terceira é o triplo da primeira. Isso significa que todas as equações são múltiplos umas das outras, indicando que elas são linearmente dependentes.

Passo 3

Como todas as equações são múltiplos umas das outras, isso sugere que não temos equações independentes suficientes para determinar valores únicos para , e . Em outras palavras, o sistema não tem uma única solução, mas sim um conjunto infinito de soluções que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo.

Passo 4

Para expressar as soluções, podemos escolher uma das variáveis como parâmetro. Vamos resolver a primeira equação para x = y - 2z + 5 :
(x, y, z) = (y - 2z + 5, y, z)
Aqui, podemos deixar e livres para assumirem qualquer valor real. Assim, as soluções do sistema podem ser representadas da seguinte forma:
Onde e são parâmetros que podem variar livremente.

Resposta

O sistema é compatível indeterminado, ou seja, possui infinitas soluções. As soluções podem ser representadas por:
(x, y, z) = (y - 2z + 5, y, z)
onde e são quaisquer números reais.

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    En caso afirmativo encoítre uma base para etes.
Dê a matriz de mudança da base E=(e1, e2, e3) para a base F=(f1, f2, f3) e da base F para a base E, onde
f1 & =e1-e2+e3 f2 & =3 e1-2 e2-e3 f3 & =e1+2 e2+e3
Além disso, encontre v=-2 e1+e2-e3 na base F.
Seja E=(e1, e2, e3) uma base, e F=(f1, f2, f3) com
& f1=2 e1-e3 & f2=e2+2 e3 & f3=7 e3
Verifique que F é uma base e ache w=e1+e2+e3 em termos da base F.
Resolva e classifique os sistemas abaixo
x1+3 x2-2 x3+2 x5 & =0 2 x1+6 x2-5 x3-2 x4+4 x5-3 x6 & =0 5 x3+10 x4+15 x6 & =0 2 x1+6 x2+8 x4+4 x5+18 x6 & =0