Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c)
, com a restrição
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar os extremos relativos da função
, mas tem uma condição: a restrição
. Isso significa que vamos procurar os pontos onde
tem máximos ou mínimos, mas apenas dentro da esfera definida por
. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que, segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, os extremos da função
sujeitos à restrição
ocorrem onde o gradiente de
é igual a um múltiplo escalar (chamado de multiplicador de Lagrange,
) do gradiente de
. Em fórmula:
Aqui,
, pois queremos
.
Passo 3
Vamos calcular os gradientes das funções
e
:
Passo 4
De acordo com o método, igualamos os gradientes:
Isso nos dá o sistema de equações:
E não podemos esquecer da restrição:
Passo 5
Vamos resolver essas equações passo a passo. Começando pela equação (2):
Se
, podemos dividir ambos os lados por
:
Se
, então essa equação já está satisfeita.
Passo 6
Agora, vamos para a equação (3):
Se
, podemos dividir por
:
Se
, então essa equação se reduz a
, que é sempre verdadeira.
Passo 7
Com as equações para
, podemos igualar as expressões obtidas:
Se
e
:
Passo 8
Agora, substituímos
na equação (1):
Como
, temos:
Passo 9
Agora, usamos a restrição (4)
com as expressões que encontramos:
Calculando:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Logo:
Passo 10
Agora, encontramos
e
:
Passo 11
Considerando todas as combinações de sinais, temos os seguintes pontos críticos:
Resposta
Os extremos relativos da função
sob a restrição
ocorrem nos seguintes pontos:
Exercícios relacionados
Sejam
um número real não-nulo e
, definida em
.
b) Classifique os dois pontos críticos de obtidos em (a).
b) Classifique os dois pontos críticos de
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
c) e
;
c)
Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
b) e
e
;
b)