Ache os extremos relativos de f com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c) f(x, y, z) = y^3 + x * z^2, com a restrição x^2 + y^2 + z^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para achar os extremos relativos da função , mas tem uma condição: a restrição . Isso significa que vamos procurar os pontos onde tem máximos ou mínimos, mas apenas dentro da esfera definida por . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que ajuda a encontrar extremos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que, segundo o método dos multiplicadores de Lagrange, os extremos da função sujeitos à restrição ocorrem onde o gradiente de é igual a um múltiplo escalar (chamado de multiplicador de Lagrange, ) do gradiente de . Em fórmula:
Aqui, , pois queremos .

Passo 3

Vamos calcular os gradientes das funções e :

Passo 4

De acordo com o método, igualamos os gradientes:
Isso nos dá o sistema de equações:
E não podemos esquecer da restrição:

Passo 5

Vamos resolver essas equações passo a passo. Começando pela equação (2):
Se , podemos dividir ambos os lados por :
Se , então essa equação já está satisfeita.

Passo 6

Agora, vamos para a equação (3):
Se , podemos dividir por :
Se , então essa equação se reduz a , que é sempre verdadeira.

Passo 7

Com as equações para , podemos igualar as expressões obtidas:
Se e :

Passo 8

Agora, substituímos na equação (1):
Como , temos:

Passo 9

Agora, usamos a restrição (4) com as expressões que encontramos:
Calculando:
Multiplicando todos os termos por 4 para eliminar os denominadores:
Logo:

Passo 10

Agora, encontramos e :

Passo 11

Considerando todas as combinações de sinais, temos os seguintes pontos críticos:

Resposta

Os extremos relativos da função sob a restrição ocorrem nos seguintes pontos:

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