Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.

Passo 1

Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um quarto retangular com volume de 1000 pés cúbicos. Queremos encontrar as dimensões desse quarto que minimizem a perda de calor, ou seja, que tornem o aquecimento mais barato. Para isso, precisamos saber como a perda de calor ocorre pelo teto, chão e paredes, e usar isso para determinar as melhores dimensões.

Passo 2

Vamos começar definindo as dimensões do quarto. Seja:
  • = comprimento
  • = largura
  • = altura
Sabemos que o volume do quarto é dado por:
éú
Essa é a nossa primeira equação.

Passo 3

Agora, precisamos expressar a perda de calor em termos dessas dimensões. A perda de calor total será a soma das perdas pelo chão, teto e pelas quatro paredes.
Segundo o enunciado:
  • A perda pelo teto é cinco vezes a perda pelo chão por unidade de área.
  • A perda pelas quatro paredes é três vezes a perda pelo chão no total.
Vamos definir:
  • ã = perda de calor pelo chão
  • ã
  • ã
Então, a perda total de calor será:
ããããã

Passo 4

Vamos agora expressar ã em termos das dimensões. A perda de calor pelo chão depende da área do chão. A área do chão é:
ã
Então, a perda de calor pelo chão:
ãã
Onde é a constante de proporcionalidade da perda de calor por unidade de área.

Passo 5

Substituindo ã na expressão da perda total:
Mas precisamos levar em conta que as paredes também têm área e contribuem para a perda de calor. A área total das quatro paredes é:
E a perda total pelas paredes:
ã
Isso confirma que nossa expressão para já considerou todas as perdas.

Passo 6

Agora, queremos minimizar . Para isso, usamos a restrição do volume:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo, :
E substituir na expressão de :
Mas parece que precisamos reavaliar, pois a expressão atual não depende de . Vamos corrigir isso considerando a correta contribuição das áreas.

Passo 7

Reavaliando, a perda total considerando todas as superfícies é:
Mas isso não inclui a contribuição das paredes. Precisamos considerar a área das paredes na perda de calor.
A perda pelas paredes:
Portanto, a perda total:
ã

Passo 8

Agora temos:
Como queremos minimizar , podemos minimizar a expressão .
Usando a restrição do volume , podemos expressar uma variável em termos das outras. Por exemplo:
Substituindo na expressão a ser minimizada:

Passo 9

Para minimizar , derivamos em relação a e e igualamos a zero.
Primeiro, derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:

Passo 10

Igualando as expressões encontradas:
Substituindo da primeira na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 1000:
Como :

Passo 11

Com , encontramos :
Agora, usando o volume para encontrar :

Resposta

As dimensões que minimizam a perda de calor são:
ééé
Ou seja, um quarto cúbico de 10 pés de cada lado.

Exercícios relacionados

Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c) , com a restrição .
Sejam um número real não-nulo e , definida em .
b) Classifique os dois pontos críticos de obtidos em (a).
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de na região .
b) e e ;
Seja .
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera ;