Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.
Passo 1
Ok, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um quarto retangular com volume de 1000 pés cúbicos. Queremos encontrar as dimensões desse quarto que minimizem a perda de calor, ou seja, que tornem o aquecimento mais barato. Para isso, precisamos saber como a perda de calor ocorre pelo teto, chão e paredes, e usar isso para determinar as melhores dimensões.
Passo 2
Vamos começar definindo as dimensões do quarto. Seja:
-
= comprimento -
= largura -
= altura
Sabemos que o volume
do quarto é dado por:
Essa é a nossa primeira equação.
Passo 3
Agora, precisamos expressar a perda de calor em termos dessas dimensões. A perda de calor total
será a soma das perdas pelo chão, teto e pelas quatro paredes.
Segundo o enunciado:
- A perda pelo teto é cinco vezes a perda pelo chão por unidade de área.
- A perda pelas quatro paredes é três vezes a perda pelo chão no total.
Vamos definir:
-
= perda de calor pelo chão -
-
Então, a perda total de calor será:
Passo 4
Vamos agora expressar
em termos das dimensões. A perda de calor pelo chão depende da área do chão. A área do chão é:
Então, a perda de calor pelo chão:
Onde
é a constante de proporcionalidade da perda de calor por unidade de área.
Passo 5
Substituindo
na expressão da perda total:
Mas precisamos levar em conta que as paredes também têm área e contribuem para a perda de calor. A área total das quatro paredes é:
E a perda total pelas paredes:
Isso confirma que nossa expressão para
já considerou todas as perdas.
Passo 6
Agora, queremos minimizar
. Para isso, usamos a restrição do volume:
Podemos resolver essa equação para uma das variáveis, por exemplo,
:
E substituir na expressão de
:
Mas parece que precisamos reavaliar, pois a expressão atual não depende de
. Vamos corrigir isso considerando a correta contribuição das áreas.
Passo 7
Reavaliando, a perda total
considerando todas as superfícies é:
Mas isso não inclui a contribuição das paredes. Precisamos considerar a área das paredes na perda de calor.
A perda pelas paredes:
Portanto, a perda total:
Passo 8
Agora temos:
Como queremos minimizar
, podemos minimizar a expressão
.
Usando a restrição do volume
, podemos expressar uma variável em termos das outras. Por exemplo:
Substituindo na expressão a ser minimizada:
Passo 9
Para minimizar
, derivamos em relação a
e
e igualamos a zero.
Primeiro, derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Passo 10
Igualando as expressões encontradas:
Substituindo
da primeira na segunda:
Multiplicando ambos os lados por 1000:
Como
:
Passo 11
Com
, encontramos
:
Agora, usando o volume para encontrar
:
Resposta
As dimensões que minimizam a perda de calor são:
Ou seja, um quarto cúbico de 10 pés de cada lado.
Exercícios relacionados
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c) , com a restrição
.
c)
Sejam
um número real não-nulo e
, definida em
.
b) Classifique os dois pontos críticos de obtidos em (a).
b) Classifique os dois pontos críticos de
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
b) e
e
;
b)
Seja
.
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera
;
a) Mostre que