Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
b)
e
e
;
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os máximos e mínimos relativos e absolutos da função
na região
. O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis e otimização dentro de um domínio específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta dentro da área delimitada por
, que é definida por
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. Ela é delimitada pelas retas
e
, com
variando de 1 a 4. Essas retas formam um trapézio no plano
.
Passo 3
Vamos encontrar os vértices desse trapézio, pois os máximos e mínimos geralmente ocorrem nesses pontos. Precisamos calcular as interseções das retas com os limites de
:
-
Quando
: -
-
- Então, temos os pontos
e
-
-
Quando
: -
-
- Então, temos os pontos
e
-
Passo 4
Agora que temos os quatro vértices da região
:
,
,
e
, vamos calcular o valor de
em cada um deles.
Passo 5
Vamos calcular
em cada vértice:
-
Em
: -
Em
: -
Em
: -
Em
:
Passo 6
Agora, com os valores calculados:
O maior valor é 2 e o menor valor é -13.
Resposta
O máximo absoluto de
na região
é 2 no ponto
e o mínimo absoluto é -13 no ponto
.
Exercícios relacionados
Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c) , com a restrição
.
c)
Seja
.
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera
;
a) Mostre que
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) , com as restrições
e
.
a)