Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de na região .
b) e e ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os máximos e mínimos relativos e absolutos da função na região . O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis e otimização dentro de um domínio específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta dentro da área delimitada por , que é definida por e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é delimitada pelas retas e , com variando de 1 a 4. Essas retas formam um trapézio no plano .

Passo 3

Vamos encontrar os vértices desse trapézio, pois os máximos e mínimos geralmente ocorrem nesses pontos. Precisamos calcular as interseções das retas com os limites de :
  • Quando :
    • Então, temos os pontos e
  • Quando :
    • Então, temos os pontos e

Passo 4

Agora que temos os quatro vértices da região : , , e , vamos calcular o valor de em cada um deles.

Passo 5

Vamos calcular em cada vértice:
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  4. Em :

Passo 6

Agora, com os valores calculados:
O maior valor é 2 e o menor valor é -13.

Resposta

O máximo absoluto de na região é 2 no ponto e o mínimo absoluto é -13 no ponto .

Exercícios relacionados

Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.
Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c) , com a restrição .
Seja .
a) Mostre que tem exatamente dois pontos de mínimo e infinitos pontos de máximo locais na esfera ;
Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
a) , com as restrições e .