Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de f(x, y) na região D.
b) f(x, y) = -5x + 2y + 3 e D = {(x, y) em R^2: x/2 <= y <= 2*x} e 1 <= x <= 4;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar os máximos e mínimos relativos e absolutos da função na região . O conteúdo aqui envolve funções de duas variáveis e otimização dentro de um domínio específico. Para resolver isso, vamos precisar entender como a função se comporta dentro da área delimitada por , que é definida por e .

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Ela é delimitada pelas retas e , com variando de 1 a 4. Essas retas formam um trapézio no plano .

Passo 3

Vamos encontrar os vértices desse trapézio, pois os máximos e mínimos geralmente ocorrem nesses pontos. Precisamos calcular as interseções das retas com os limites de :
  • Quando :
    • Então, temos os pontos e
  • Quando :
    • Então, temos os pontos e

Passo 4

Agora que temos os quatro vértices da região : , , e , vamos calcular o valor de em cada um deles.

Passo 5

Vamos calcular em cada vértice:
  1. Em :
  2. Em :
  3. Em :
  4. Em :

Passo 6

Agora, com os valores calculados:
O maior valor é 2 e o menor valor é -13.

Resposta

O máximo absoluto de na região é 2 no ponto e o mínimo absoluto é -13 no ponto .

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