Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de na região .
c) e ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos relativos (ou absolutos) da função dentro da região definida por . Vamos usar conceitos de cálculo de múltiplas variáveis e otimização em regiões delimitadas. Precisamos analisar a função dentro dos limites da região e verificar onde a função atinge seus valores extremos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . Ela é definida por duas inequações:
  1. — Isso representa a área acima da parábola .
  2. — Isso representa a área abaixo da reta .
Vamos desenhar esses gráficos para visualizar a região onde vamos buscar os extremos da função.

Passo 3

Como é uma função linear, ela não possui pontos de máximo ou mínimo relativos internos à região . Portanto, os extremos absolutos devem estar nas bordas da região. Precisamos então analisar a função nas duas curvas que formam os limites de .

Passo 4

Vamos parametrizar cada fronteira:
  1. Na curva :
    Substituímos na função:
    Agora, encontramos as derivadas para achar os pontos críticos:
    Igualamos a zero:
    Calculamos :
    O ponto crítico é .
    Avaliamos nesse ponto:
  2. Na curva :
    Substituímos na função:
    Essa é uma função linear crescente, então os mínimos e máximos estarão nos extremos do intervalo de .
    Precisamos encontrar os valores de onde as duas curvas se intersectam para determinar o intervalo:
    Então, avaliamos nesses pontos:
    • Para :
    • Para :

Resposta

Os extremos da função na região são:
  • Mínimo absoluto:
  • Máximo absoluto:

Exercícios relacionados

Seja . Achar o máximo e o mínimo de em:
e) e .
Considere . Nos casos a) e b)
(i) Verifique que possui mínimo absoluto em .
Sejam um número real não-nulo e , definida em .
b) Classifique os dois pontos críticos de obtidos em (a).
Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c) , com a restrição .