Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
c)
e
;
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar os máximos e mínimos relativos (ou absolutos) da função
dentro da região
definida por
. Vamos usar conceitos de cálculo de múltiplas variáveis e otimização em regiões delimitadas. Precisamos analisar a função dentro dos limites da região
e verificar onde a função atinge seus valores extremos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. Ela é definida por duas inequações:
-
— Isso representa a área acima da parábola . -
— Isso representa a área abaixo da reta .
Vamos desenhar esses gráficos para visualizar a região onde vamos buscar os extremos da função.
Passo 3
Como
é uma função linear, ela não possui pontos de máximo ou mínimo relativos internos à região
. Portanto, os extremos absolutos devem estar nas bordas da região. Precisamos então analisar a função nas duas curvas que formam os limites de
.
Passo 4
Vamos parametrizar cada fronteira:
-
Na curva
: Substituímosna função: Agora, encontramos as derivadas para achar os pontos críticos:Igualamos a zero:Calculamos: O ponto crítico é. Avaliamosnesse ponto: -
Na curva
: Substituímosna função: Essa é uma função linear crescente, então os mínimos e máximos estarão nos extremos do intervalo de. Precisamos encontrar os valores deonde as duas curvas se intersectam para determinar o intervalo: Então, avaliamosnesses pontos: -
Para
: -
Para
:
-
Resposta
Os extremos da função
na região
são:
- Mínimo absoluto:
- Máximo absoluto: