Sejam
um número real não-nulo e
, definida em
.
b) Classifique os dois pontos críticos de
obtidos em (a).
b) Classifique os dois pontos críticos de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar os dois pontos críticos da função
, onde
é um número real diferente de zero. Esse exercício está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente na parte de otimização e análise de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Essas derivadas nos ajudam a encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os pontos críticos.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo
e
:
Para
:
Para
:
Essa é uma equação quadrática em
. Vamos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Passo 5
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Primeiro, para
:
Como
e
, esse ponto é um mínimo local.
Agora, para
:
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
O primeiro ponto crítico
é um mínimo local e o segundo ponto crítico
é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Ache os máximos e mínimos relativos (absolutos) de
na região
.
c) e
;
c)
Seja
. Achar o máximo e o mínimo de
em:
e) e
.
e)
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
c) , com a restrição
.
c)
Um quarto de armazenamento aquecido tem a forma de uma caixa retangular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quente sobe, a perda de calor por unidade de área pelo teto é cinco vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determine as dimensões do quarto que minimiza a perda de calor e, portanto, minimiza o custo do aquecimento.