Sejam k um número real não-nulo e f(x, y) = k*x^3 + x^2 + 2*y^2 - 2*x - 2*y, definida em R^2.
b) Classifique os dois pontos críticos de f obtidos em (a).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente classificar os dois pontos críticos da função , onde é um número real diferente de zero. Esse exercício está dentro do estudo de cálculo multivariável, especificamente na parte de otimização e análise de funções de várias variáveis. Para resolver isso, vamos precisar encontrar as derivadas parciais da função e usar o teste da segunda derivada para classificar os pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e :
Essas derivadas nos ajudam a encontrar os pontos onde a inclinação da função é zero, ou seja, os pontos críticos.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo e :
Para :
Para :
Essa é uma equação quadrática em . Vamos resolvê-la usando a fórmula de Bhaskara:
Então, os pontos críticos são:

Passo 4

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos encontrar as segundas derivadas parciais:
O discriminante é dado por:

Passo 5

Vamos calcular para cada ponto crítico.
Primeiro, para :
Como e , esse ponto é um mínimo local.
Agora, para :
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

O primeiro ponto crítico é um mínimo local e o segundo ponto crítico é um ponto de sela.

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