Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b)
, com a restrição
.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa achar os extremos relativos da função
com a restrição
. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o método dos multiplicadores de Lagrange faz. Ele nos ajuda a encontrar os pontos onde a função
pode ter máximos ou mínimos, considerando que esses pontos também devem satisfazer a restrição dada pela equação
.
Passo 3
Vamos montar as equações de Lagrange. Introduzimos um multiplicador
e igualamos as derivadas parciais de
e da restrição multiplicadas por
. Assim, temos:
onde
.
Passo 4
Calculando as derivadas parciais:
E para a restrição
:
Passo 5
Aplicando as equações de Lagrange, temos:
E a restrição:
Passo 6
Vamos relacionar as equações (1), (2) e (3) para encontrar relações entre
e
. Dividindo (1) por (2):
Então,
.
Passo 7
Agora, dividindo (2) por (3):
Substituindo
:
Passo 8
Agora temos
e
. Vamos substituir esses valores na restrição (4):
Simplificando:
Passo 9
Agora, encontramos
. Vamos encontrar
e
:
Para
:
Para
:
Passo 10
Finalmente, temos dois pontos críticos:
Resposta
Os extremos relativos da função
sob a restrição
são encontrados nos pontos
e
.
Exercícios relacionados
Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com
de papelão.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
j)
Seja
e
.
b) Faça e ache os extremos de
no triângulo (fronteira e interior) de vértices
e
.
b) Faça