Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b) , com a restrição .

Passo 1

Beleza, vamos resolver juntos esse exercício! A gente precisa achar os extremos relativos da função com a restrição . Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, que é uma técnica para encontrar os máximos e mínimos de uma função sujeita a restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o método dos multiplicadores de Lagrange faz. Ele nos ajuda a encontrar os pontos onde a função pode ter máximos ou mínimos, considerando que esses pontos também devem satisfazer a restrição dada pela equação .

Passo 3

Vamos montar as equações de Lagrange. Introduzimos um multiplicador e igualamos as derivadas parciais de e da restrição multiplicadas por . Assim, temos:
onde .

Passo 4

Calculando as derivadas parciais:
E para a restrição :

Passo 5

Aplicando as equações de Lagrange, temos:
E a restrição:

Passo 6

Vamos relacionar as equações (1), (2) e (3) para encontrar relações entre e . Dividindo (1) por (2):
Então, .

Passo 7

Agora, dividindo (2) por (3):
Substituindo :

Passo 8

Agora temos e . Vamos substituir esses valores na restrição (4):
Simplificando:

Passo 9

Agora, encontramos . Vamos encontrar e :
Para :
Para :

Passo 10

Finalmente, temos dois pontos críticos:

Resposta

Os extremos relativos da função sob a restrição são encontrados nos pontos e .

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Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com de papelão.
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
Seja e .
b) Faça e ache os extremos de no triângulo (fronteira e interior) de vértices e .