Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com de papelão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tem o maior volume possível, usando apenas 27 cm² de papelão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em matemática, especificamente envolvendo funções de área e volume.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar a caixa. Ela tem comprimento , largura e altura . Como a caixa não tem tampa, a área total do papelão será a soma das áreas das cinco faces: base, duas laterais e duas frontais.

Passo 3

A área total usada para construir a caixa é dada pela fórmula:
²
Queremos maximizar o volume da caixa, que é:

Passo 4

Vamos resolver a equação da área para uma das variáveis, por exemplo, :

Passo 5

Substituímos na fórmula do volume:
Agora, temos o volume em termos de e .

Passo 6

Para simplificar, vamos supor que a caixa seja simétrica, ou seja, que . Isso facilita os cálculos e geralmente resulta no máximo volume.

Passo 7

Com , a área fica:
E o volume:

Passo 8

Agora, vamos derivar a função do volume em relação a para encontrar o valor que maximiza o volume:

Passo 9

Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:

Passo 10

Com e , calculamos :

Resposta

As dimensões da caixa de maior volume são:
  • Comprimento:
  • Largura:
  • Altura:

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Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)
Ache os extremos relativos de com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b) , com a restrição .
Seja e .
b) Faça e ache os extremos de no triângulo (fronteira e interior) de vértices e .