Dê as dimensões da caixa retangular sem tampa de maior volume que pode ser construída com
de papelão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar as dimensões de uma caixa retangular sem tampa que tem o maior volume possível, usando apenas 27 cm² de papelão. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização em matemática, especificamente envolvendo funções de área e volume.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar a caixa. Ela tem comprimento
, largura
e altura
. Como a caixa não tem tampa, a área total do papelão será a soma das áreas das cinco faces: base, duas laterais e duas frontais.
Passo 3
A área total usada para construir a caixa é dada pela fórmula:
Queremos maximizar o volume
da caixa, que é:
Passo 4
Vamos resolver a equação da área para uma das variáveis, por exemplo,
:
Passo 5
Substituímos
na fórmula do volume:
Agora, temos o volume em termos de
e
.
Passo 6
Para simplificar, vamos supor que a caixa seja simétrica, ou seja, que
. Isso facilita os cálculos e geralmente resulta no máximo volume.
Passo 7
Com
, a área fica:
E o volume:
Passo 8
Agora, vamos derivar a função do volume em relação a
para encontrar o valor que maximiza o volume:
Passo 9
Igualamos a derivada a zero para encontrar os pontos críticos:
Passo 10
Com
e
, calculamos
:
Resposta
As dimensões da caixa de maior volume são:
- Comprimento:
- Largura:
- Altura:
Exercícios relacionados
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
j)
j)
Determine os pontos críticos das funções abaixo e classifique-os:
f)
f)
Ache os extremos relativos de
com as restrições dadas, nos seguintes casos:
b) , com a restrição
.
b)
Seja
e
.
b) Faça e ache os extremos de
no triângulo (fronteira e interior) de vértices
e
.
b) Faça